Applicazione lineare

[BruceChetta]

Ciao a tutti. Non riesco a risolvere questo esercizio
"Esiste un'applicazione lineare $f:RR^4->RR^3$ suriettiva tale che $ ker(f) = ((x,y,z,t) in RR^4: x +y+z=2z=0)$?
So che l'applicazione è suriettiva quando $m=dimImg$ quindi so che la $dimImg=4$ e quindi per il teorema del teorema del rango $dimKer=0$. Guardando l'applicazione lineare però mi dice che z=0 quindi in teoria il nucleo non è pari a 3? Non so se mi sono spiegato bene, in ogni caso vorrei capire se ciò che ho detto è corretto oppure no. Grazie per l'aiuto

[cooper]

l'idea che hai mi sembra corretta: devi studiare il nucleo di quell'appicazione e poi col teorema delle dimensioni vedi se $dim (Im f) =4$ oppure no. se lo è allora è suriettiva in caso contrario no.
così ad occhio mi sembra la dimensione del nucleo sia 1 e quindi l'applicazione non possa essere suriettiva. una base del ker mi sembra $B={((-1),(1),(0))}$

[BruceChetta]

In realtà è una domanda a risposta multipla e le risposte sono:
A) No, perché l'insieme considerato non è un sottospazio di $RR^4$
B) Si, perché $dim ker(f)=2$
C) No, perché $dim ker(f)=3$
D) No, perché $dim ker(f)=2$

[cooper]

ah certo sono scemo io scusa! mi sono dimenticato della $t$. con questa accortezza ha si dimensione 2! un suo generico vettore è infatti $((-y),(y),(0),(t))$

[BruceChetta]

E scusa di che, gentilissimo, grazie

[Sebastiantum]

Perchè $Im(f)$ deve avere dimensione 4? La funzione ha come codominio uno spazio di dimensione 3, non 4. Se deve essere suriettiva, visto che il codominio ha dimensione 3 $Im(f)$ deve avere dimensione 3. La dimensione del dominio l'abbiamo. Per il teorema della dimensione: $Dim(Im(f))+Dim(Ker(f))=Dim(R^4)$ quindi perchè esista una tale funzione deve essere $Dim(Ker(f))=4-3 \Rightarrow Dim(Ker(f))=1$
Le equazioni del $Ker$, che non sono sicurissimo di come si risolvano (la quarta incognita non compare e non so se lasciarla libera o uguale a zero e ho interpretato quella scrittura come $x+y-2z+z=0$), mi danno come soluzioni uno spazio di dimensione 2, e quindi è impossibile costruire una funzione fatta cosi. Se invece ho interpretato male la scrittura delle equazioni del $Ker$ fammelo sapere perchè non sono abiutato a quella notazione. In ogni caso, la funzione può esistere se e solo se rispetta il teorema della dimensione (o nullità più rango) il cui enunciato è:
Sia $f:V\rightarrowW$ si ha sempre $ Dim(Im(f))+Dim(Ker(f))=Dim(V)$

Comunque non ti sei spiegato molto bene, "In teoria il nucleo non è 3" per me non ha senso, vuoi dire di dimensione 3?Quando parli di matematica serve una certa precisione, perchè 3 è un numero, e da solo significa semplicemente 3..

[cooper]

Perchè Im(f) deve avere dimensione 4? La funzione ha come codominio uno spazio di dimensione 3, non 4. Se deve essere suriettiva, visto che il codominio ha dimensione 3 Im(f) deve avere dimensione 3

su questo hai ragione credo di aver visto male il codominio o aver aver seguito il commento dell'OT.
ad ogni modo la risposta e la dimensione del nucleo restano come le ho fatte.

la quarta incognita non compare e non so se lasciarla libera o uguale a zero e ho interpretato quella scrittura come x+y−2z+z=0)

hai sbagliato. quella condizione è equivalente al sistema:
$ { ( x+y+z=0 ),( 2z=0 ),( t in RR ):} $
se una condizione su una variabile non è specificata significa che può fare quello che vuole, ergo è libera.

[BruceChetta]

ma con questo sistema la dimensione del nucleo viene pari a 2 mentre per il teorema del rango la dimensione del ker è 1.. quindi la risposta dovrebbe essere "no perché la dimensione del nucleo è 2".. corretto?

[cooper]

la risposta è corretta ma non ho capito quello che hai detto prima però. la dimensione del nucleo è 2 non 1. a me sembra che qui niente abbia dimensione 1

[BruceChetta]

Scusa per il teorema del rango...
$dimker(f)=dimRR^4-dimImg(f) -> 4-3=1$ Sbaglio?