da Isaac888 » 17/09/2017, 14:58
Io farei così:
PREPARATIVI:
Sia $g\in GL(\mathbb{R}^{2n})$ tale che $g: (a_1,b_1,...,a_n,b_n) \mapsto (a_1,...,a_n,b1,...,b_n)$.
A questo punto potrò chiamare, dato $X \in \mathbb{C}^n$, $X_{\mathbb{Re}}:= (a_1,...a_n) \in \mathbb{R}^n$ e $X_{\mathbb{Im}}:= (b_1,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$.
A questo punto sai che $g \circ f_n: X \mapsto (X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}})$.
A questo punto posso coniugare quella che tu chiami $R_B\in End(\mathbb{R}^{2n})$ per $g$.
Così $f_n^{-1}\circ R_B \circ f_n =(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})\circ (g \circ f_n)$
Ora saremo d'accordo che considerare questa $g$ o non considerarla non cambia niente. Però io la considero!
Ultima piccola considerazione sull'applicazione $g\circ R_B \circ g^{-1}$.
$g^{-1}$ è un cambio di base, per cui, posso dire $g\circ R_B\circg^{-1}=R_{B'}$ dove di $B'$ non ci importa nulla, tanto è simile a $B$.
DIMOSTRAZIONE(?)
$f_n^{-1}\circ R_B \circ f_n (X)=(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})\circ (g \circ f_n)(X) =(f_n^{-1}\circ g^{-1}) (g\circ R_B\circ g^{-1})((X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}}))=(f_n^{-1}\circ g^{-1})\circ R_{B'} ((X_{\mathbb{Re}}|X_{\mathbb{Im}}))$.
Se scrivo la matrice $B'$ in quattro blocchi di dimensione $n$x$n$ e faccio i conti a blocchi ottengo
$(f_n^{-1}\circ g^{-1}) ((B_1^'X_{\mathbb{Re}}+B_2^'X_{\mathbb{Im}}|B_3^'X_{\mathbb{Re}}+B_4^'X_{\mathbb{Im}}))=(B_1^'X_{\mathbb{Re}}+B_2^'X_{\mathbb{Im}}) +i(B_3^'X_{\mathbb{Re}}+B_4^'X_{\mathbb{Im}})$.
A questo punto hai tutti gli strumenti per poter osservare che se l'applicazione trovata è o meno $\mathbb{C}$-lineare dipende solo da chi era all'inizio $B$. Alcune $R_B$ saranno $\mathbb{C}$-lineari ed altre no...
Se provi a calcolare:
$iF_{B'}(X)=-(B_3^'X_{\mathbb{Re}}+B_4^'X_{\mathbb{Im}}) +i(B_1^'X_{\mathbb{Re}}+B_2^'X_{\mathbb{Im}})$
Mentre:
$F_{B'}(iX)=(B_2^'X_{\mathbb{Re}}-B_1^'X_{\mathbb{Im}}) +i(B_4^'X_{\mathbb{Re}}-B_3^'X_{\mathbb{Im}})$.
Il tuo teorema afferma solo che $F_B$ è $\mathbb{C}$-lineare se e solo se $B$ è tale che $F_B(iX)=iF_B(X), \forall X\in \mathbb{C}^n$, a mio avviso.
Comunque se ho detto fesserie corregge temi per favore.
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Isaac888 il 17/09/2017, 16:23, modificato 1 volta in totale.