In poche parole, ti dice che (sotto opportune ipotesi), il
gradiente è ortogonale alle
curve di livello.
Provo per il caso $n=2$, ma evidentemente si può generalizzare.
Prendi una funzione $f:D \subset RR^2 \rarr RR$ e sia $x_0 \in D$ un punto in cui ha senso calcolare il gradiente di $f$, e sia $x_0 \in f^{-1}(c)$. Allora $ \grad(x_0) * vec(v) =0$, con $vecv$ vettore tangente alla curve di livello.
Dim.:
Sia $vecv$ il vettore tangente alla curva di livello $f^{-1}(c)$ in $x_o$. Posso allora dire che il vettore $v$ è della forma $v=\gamma ' (t)$, con $\gamma: [t_1,t_2] \rarr RR^2$ curva parametrizzata di classe almeno $C^{1}$ (anche a tratti va bene).
Questa curva è tale che $\gamma(t_1)=x_0$ e $\gamma[t_1,t_2] \in f^{-1}(c)$. Da quest'ultima segue che $f(\gamma([t_1,t_2]))=c$.
Consideriamo quindi la funzione
costante $f(\gamma(t))$, con $t \in [t_1,t_2]$:
$ (d )/(d t) f(\gamma(t_0)=0 $
Ma, per la
chain-rule: $ (d )/(d t) f(\gamma(t_0))=grad(f(\gamma(t_0)))*\gamma'(t_0)=grad(f(\gamma(t_0)))*vecv $ , da cui segue la tesi