Endomorfismo e diagonalizzazione.

[BRN]

Ciao a tutti, mi servirebbe aiuto per una tipologia di esercizio sugli endomorfismi che non ho mai incontrato fin'ora.

Sia T un endomorfismo su $RR^3$ tale che:

- gli elementi non nulli di $ V={x= (x, y, z) \in RR^3|2x+y= 0}$ sono autovettori di T relativi all’autovalore 1;

- $T(2e_1−2e_2+e_3) = (2+r)e_1−2(r+1)e_2+e_3$.

Trovare, se esistono, i valori r reali per i quali T risulta diagonalizzabile.

Dunque, il tutto si dovrebbe tradurre nel vedere per quali valori di r si abbia l'uguaglianza tra la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica relativamente all'autovalore 1.

Dal primo punto, ho che la molteplicità algebrica riferita all'autovalore 1 è $m.a.=1$, dato che ho $( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 2 ),( 1 ),( 0 ) )$

Dal secondo punto ho:

$ T( ( 2 ),( -2 ),( 1 ) ) =( ( 2+r ),( -2(r+1) ),( 1 ) ) $

Per determinare la molteplicità geometrica, mi servirebbe trovare la matrice A rappresentativa dell'endomorfismo e andare a calcolare $dim(ker(A-lambda I))$ con $lambda$ autovalore.
Ma come faccio a trovare la matrice associata se ho l'endomorfismo applicato ad un solo vettore?

Qulcuno mi chiarisce questa cosa? Grazie!

[cooper]

Dal primo punto, ho che la molteplicità algebrica riferita all'autovalore 1

hai sbagliato a calcolare il sistema. come nell'altro esercizio hai una coordinata (qui z) libera di variare. comunque sia non capisco come hai fatto a stabilire la molteplicità algebrica di 1.
io farei così:
per definizione di autovettore, ed autovalore, sappiamo che: $T(v)=lambda v$ con $v in V$
risolvendo le condizioni che definiscono $V$ scopro che i due autovettori riferiti a $lambda = 1$ sono $v_1 =((1),(-2),(0))$ e $v_2=((0),(0),(1))$
quindi, dalla definizione sappiamo anche che:
$T(v_1)=v_1 ^^ T(v_2)=v_2$

[BRN]

Sì, in effetti ho sbagliato ad impostare il sistema. Se considero x e z come variabili libere, ottengo il tuo risultato.
Per quanto riguarda la molteplicità algebrica, è vero che è il numero che esprime quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico, però il suo valore non è pari anche al numero di autovettori per quel dato autovalore?

Alla fine, dovrei studiarmi un endomorfismo tale che:

$ T( ( 2 ),( -2 ),( 1 ) ) =( ( 2+r ),( -2(r+1) ),( 1 ) ) ; T( ( 1 ),( -2 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

mi mancherebbe l'endomorfismo del terzo vettore...

[anto_zoolander]

Ma... $V$ è definito sulle componenti o sul vettore stesso?
Ovvero se $v inV $ allora $v=(x,-2x,z)=x(e_1-2e_2)+ze_3$? Ossia $V= <e_1-2e_2,e_3>$?
Perché se è così diventa facile. E meno 'ambiguo'

[cooper]

mi mancherebbe l'endomorfismo del terzo vettore..

te l'ho già scritta la terza condizione: $T(v_2)=v_2$ ovvero $T( (0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Ma... $ V $ è definito sulle componenti o sul vettore stesso?
Ovvero se $ v inV $ allora $ v=(x,-2x,z)=x(e_1-2e_2)+ze_3 $? Ossia $ V= <e_1-2e_2,e_3> $</e_1-2e_2,e_3>?
Perché se è così diventa facile. E meno 'ambiguo'

da quello che ho capito questo sarebbe l'autospazio relativo all'autovalore $lambda = 1$. quindi i vettori che lo compongono sono ovviamente gli autovettori dell'endomorfismo.

[BRN]

Scusate il ritardo nel rispondere, ma sto avendo giornate pienissime...

Ma... $V$ è definito sulle componenti o sul vettore stesso?
Ovvero se $v inV $ allora $v=(x,-2x,z)=x(e_1-2e_2)+ze_3$? Ossia $V= <e_1-2e_2,e_3>$?
Perché se è così diventa facile. E meno 'ambiguo'

Non te lo saprei dire, ho scritto il testo dell'esercizio paro paro a quello del tema d'esame dove l'ho preso.

te l'ho già scritta la terza condizione: $ T(v_2)=v_2 $ ovvero $ T( (0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Ok, scusami. Quando la notte arrivo ad una certa orapoi non connetto più...

Diciamo che il punto fondamentale dell'esercizio è arrivare a dire questo:

$ T(v_1)=v_1 ^^ T(v_2)=v_2 $

Ovviamente, senza il tuo suggerimento sarei stato perso.

Da qui in poi, diventa un classico esercizio sugli endomorfismi.

Grazie per l'aiuto!

[anto_zoolander]

Questo problema me lo sono preso a cuore. Hai,

• una base fissata che a quanto pare è sconosciuta
• l’immagine di un vettore
• un sottospazio dell’autospazio relativo a $lambda=1$

Ma come ti scrivi la matrice

Perché in $V$ hai vettori non scritti come combinazione lineare degli $e_j$, sai solo che se li metti nella base(per esempio nei primi due posti) hai due elementi sulla diagonale ma il terzo vettore della base come lo prendi

[cooper]

Ma come ti scrivi la matrice

dai dati forniti ricavi 3 immagini di vettori. a questo punto conoscendo l'immagine di 3 vettori trovi la matrice rappresentativa, rispetto ad una base a tua scelta (la canonica che è la più comoda).

Perché in V hai vettori non scritti come combinazione lineare degli ej, sai solo che se li metti nella base(per esempio nei primi due posti) hai due elementi sulla diagonale ma il terzo vettore della base come lo prendi

questa frase non l'ho capita, scusa.

[anto_zoolander]

Hai le immagini di $3$ vettori, ma non sai come scrivere tutti e tre come combinazione combinazione lineare dei vettori della base e quindi ricavare la matrice.

[cooper]

calcolo le immagini dei vettori della base canonica:
$e_1$
$e_1=a(2,-2,1)+b(1,-2,0)+c(0,0,1)$
da cui trovo $a=b=1/3$ e $c=-1/3$
per la linearità della funzione trovo poi l'immagine di $e_1$
$e_2$
$((1),(-2),(0))=e_1-2e_2$ invertendo ed applicando la funzione trovo $T(e_2)$
$e_3$ già ce l'ho.
li metto come colonne di una matrice e così ho trovato la matrice rappresentativa.