Prodotti scalari

[Isaac888]

Salve a tutti. Potreste darmi una mano con queato per favore?

Data una matrice $M$ reale simmetrica $n×n$, sia $\varphi_{M}$ il prodotto scalare su $\mathbb{R}^n$ definito da $\varphi_M=x'My$, dove con $'$ indico la trasposizione, $\forall x,y \in \mathbb{R}^n$.

Siano $A$ e $B$ matrici reali e simmetriche $n×n$.

Se $\varphi_A$ è definito positivo, $\varphi_B$ è non degenere ed $a\in\mathbb{R}$ tale che $\varphi_A +a\varphi_B$ è definito positivo allora le segnature di $\varphi_B$ e $a\varphi_{A^{-1}}+\varphi_{B^{-1}}$ coincidono.

Mio tentativo:
So che per il teorema di ortogonalizzazione simultanea vale che esiste una matrice $M$ associata ad un cambio di base ortonormale per $\varphi_A$ e contemporaneamente ad un cambio di base ortogonale per $\varphi_B$. In tale base dunque riesco a scrivere $A+aB$ come $I+aD_B$, dove $D_B$ è lacmatrice diagonale congruente a $B$ tramite $M$.
$I+aD_B$ è diagonale e definita positiva per ipotesi.
Dunque se $d_i$ è l'$i$-esimo elemento sulla diagonale di $D_B$ allora ho che $1+ad_i>0$, cioè $a > -d_i^{-1}$.
Da $M'AM=I, M'BM=D_B$ ricavo che $aA^{-1}+B^{-1}$ è congruente a $aI + D_B^{-1}$.
Questa è una matrice diagonale dove l'$i$-esimo elemento sulla diagonale è $a-d_i^{-1}$ che è $>0$ per via della condizione trovata prima sua $a$, $\forall i$. Dunque questo ultimo prodotto scalare è definito positivo per anche se $d_i<0$ per qualche $i$.

Cosa ho sbagliato?