allora il prodotto scalare diventa: $(x_1 x_2) * ( ( 7 , 2+t-t^3 ),( 2t^2 , 7 ) ) * ((y_1),(y_2)) = 7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1$
- linearità
additività:
devo verificare che $g(x+z,y)=g(x,y)+g(z,y)$
applicandolo al nostro prodotto scalare abbiamo
$7(x_1+z_1) y_1 +(2-t^3+t)(x_1+z_1) y_2 +7(x_2+z_2)y_2+2t^2 (x_2+z_2)y_1 = \text{conti} =
(7x_1y_1+(2-t^3+t)x_1y_2+7x_2y_2+2t^2x_2y_1)+(7z_1y_1+(2-t^3+t)z_1y_2+7z_2y_2+2t^2z_2y_1)=
g(x,y)+g(z,y)$
(7x_1y_1+(2-t^3+t)x_1y_2+7x_2y_2+2t^2x_2y_1)+(7z_1y_1+(2-t^3+t)z_1y_2+7z_2y_2+2t^2z_2y_1)=
g(x,y)+g(z,y)$
e questo vale $AA t in RR$
omogeneità, $g(\lambda x, y)= lambda g(x,y)$
qui
$7(\lambda x_1) y_1 +(2-t^3+t)(\lambda x_1) y_2 +7(\lambda x_2)y_2+2t^2 (\lambda x_2)y_1=
\lambda (7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1 ) =
\lambda g(x,y)$
\lambda (7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1 ) =
\lambda g(x,y)$
sempre valido $AA t$
- simmetria, $g(x,y)=g(y,x)$
$g(y,x)=7 y_1x_1 +(2-t^3+t) y_2 x_1+7y_2x_2+2t^2y_1x_2 = g(x,y)$ $AA t$
- definita positività
applico il criterio di Sylvester alla matrice.
$A_1 = 7 > 0 rArr \text{ok}$
$A_2 = t^5-t^3-2t^2+49$ è da questa condizione che trovi delle restrizioni sul parameetro. infatti per essere definita positiva la matrice deve essere $t^5-t^3-2*t^2+49 > 0$ che da un valore approssimato di $t > -2.18574$
