Calcolare una base ortogonale per l’immagine della trasformazione lineare f

[mikdita]

Salve a tutti, penso di aver capito e di aver risolto l'esercizio correttamente , non combacia però con la soluzione dell'esercizio (che dovrebbe essere giusta) . Potete aiutarmi a scovare l'eventuale mio errore ?


l'esercizio è questo :

Calcolare una base ortogonale per l’immagine dellatrasformazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f(x,y,z) = (2x+y+3z,x+z,10y+10z)

per ogni (x,y,z) di R3

allora la mia soluzione parte nel trovare l'immagine della f:
Im f = {(a,b,c)∈R3 | ∃(x,y,z)∈R3 , f(x,y,z) = (a,b,c) }

successivamente creo la matrice associata :
2 1 3 | a
1 0 1 | b
0 10 10 | c

la riduco con gauss :

1 0 1 |a
0 1 1 |b
0 0 0 |c

e essendo il rango della matrice A = 2 quindi una base di A sono le prime due colonne indipendenti;
posso dire che (a,b,c) ∈ Imf se ∈ C(A) ( spazio colonne di A)
quindi:

(a) (2) (1)
(b )= s( 1 ) + w ( 0)
(c ) (0 ) (10)

le basi di A sono v1= (2,1,0) e v2= (1,0,10)


ora trovo una base ortogonale con G-S :
w1 = v1 = (2,1,0);

w2 = v2 - (v2*w1)*w1 = (2,1,0) - 2(2,1,0) = (-3,-2,10);


base ort. = {w1,w2}

allora la base w2 non combacia !! ?????? perche dovrebbe essere (1,-2,50)

[cooper]

w2 = v2 - (v2*w1)*w1 = (2,1,0) - 2(2,1,0) = (-3,-2,10);

la formula corretta da usare è $w_2 = v_2 - (v_2*w_1)/||w_1||^2 w_1 = (1/5, -2/5 , 10)$
che poi moltiplica per 5 per levare le frazioni.
P.S. il tuo comunque non poteva essere giusto, anche se magari la soluzione non combacia può infatti sempre essere giusto. non poteva essere corretto perchè i tuoi vettori non erano ortogonali.

[mikdita]

grazie della risposta. avevo sbagliato la formula e come lei ha detto , la prova del 9 è quella di vedere se i due vettori sono ortonormali!

La disturbo per un ultimo problema , allora:

Calcolare una base ortogonale per il nucleo della trasformazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f(x, y, z) = ( g(x, y, z), −g(x, y, z), g(x, y, z) )

con g(x,y,z) = (-41x+2y+25z)

per ogni (x,y,z) di R3

allora io ho provato a risolverlo cosi:
il ker f = { (x,y,z) ∈R3 | f(x,y,z) = (0,0,0)}

quindi dobbiamo risolvere il sistema matriciale A*X = 0 la cui matrice A è :
-41 2 25
41 -2 -25
-41 2 25

si ha ( dopo la riduzione di gauss)
-41 2 25
0 0 0
0 0 0

quindi :
z = (41x - 2y )/ 25

quindi
il ker di f è costituito da (x,y,z) = s(1,0,41/25) + w(0,1,2/25) con s,w ∈ R
una base di kerf è {v1,v2} = {(1,0,41/25) ,(0,1,2/25)}

quindi secondo G-S avrò:

w1 = (1,0,41/25) dovrebbe venire (3,-1,5) ?? dove sbaglio

w2 = ... dovrebbe venire (1,8,1)




ti ringrazio per la sua disponibilità.

[cooper]

grazie della risposta. avevo sbagliato la formula e come lei ha detto , la prova del 9 è quella di vedere se i due vettori sono ortonormali!

figurati non c'è problema ma ti prego di non darmi del lei! ho solo 21 anni! comunque se chiede una base ortogonale non è necessario che siano anche normalizzati quindi basta verificare l'ortogonalità.
per il secondo problema l'errore, se non è di battitura è qui:

{v1,v2} = {(1,0,41/25) ,(0,1,2/25)}

il secondo vettore dovrebbe essere $v_2 = ((0),(1),(-2/25))$
P.S. metti le formule tra il simbolo $ che sono molto più leggibili!

[mikdita]

oh grande ! 21 anni e dai ripetizioni ai tuoi coetanei!
grazie per le risposte, ti sono molto grato!

cmq il problemone è che la base ortogonale dell'ultimo problema che ti ho scritto è {( (3,-1,5) ,(1,8,1) } e a me non viene, non capisco dove sbaglio.

[cooper]

sinceramente mi spiace ma non trovo nemmeno io nessun errore nel tuo ragionamento. secondo me se aggiusti i calcoli e se sei sicuro di aver scritto correttamente la f, allora anche il tuo metodo dovrebbe andar bene.

[anto_zoolander]

Però scusate una cosa.
Ortogonale rispetto a quale forma bilineare simmetrica?

[mikdita]

vabene grazie mille.
ascolta , scusami se sono un pò ossessivo , ma non so proprio a chi chiedere.

non riesco a risolvere questo esercizio, non so proprio da dove partire, mi potresti aiutare?

[cooper]

Ortogonale rispetto a quale forma bilineare simmetrica?

ah in effetti non ci avevo nemmeno pensato. dato che non ha riportato nulla ho dato per scontato fosse il canonico di $RR^n$. però è anche strano che dal sistema non si riesca a far saltare fuori $v_1$ che tanto con G-S resta intatto.

per l'altro esercizio..
usa la definizione di prodotto scalare, verifica quindi se è:
- lineare
- simmetrico
- definito positivo.
da questo puoi imporre delle condizioni sul parametro.
non ho capito il ruolo di a,b però. devi fissare due valori a caso e poi svolgere l'esercizio o vanno considerati anch'essi come parametri? a me sembra la prima ma vorrei una conferma.

[mikdita]

devi fissare due valori a caso .

puoi gentilmente svolgermelo?