Analisi funzioni 3 variabili

[edo_91cm]

Appena registrato e subito che scrivo perché mi serve il vostro aiuto.

La funzione presa in considerazione è la seguente:
1-(x^2+y^2+z^2)+2xyz = 0

premesso che sono abbastanza arrugginito su questo argomento, ma c'è un modo per trovare le soluzioni di questa equazione? oltre che ovviamente per tentativi?
Grazie in anticipo a chi risponderà

[kobeilprofeta]

Per tentativi non le trovi tutte.
Però qualcuna sì.
Ad esempio se una delle tre variabili è uguale a $+-1$ e le altre nulle.
Sono già 6 soluzioni.

[kobeilprofeta]

Poi hai anche le radici di 1/2 ad esempio
$(1/sqrt (2),1/sqrt (2),0) $ e queste dovrebbero essere altre 13 soluzioni.

[edo_91cm]

Per tentativi non le trovi tutte.
Però qualcuna sì.
Ad esempio se una delle tre variabili è uguale a $+-1$ e le altre nulle.
Sono già 6 soluzioni.

prima di tutto ti ringrazio perchè una soluzione mi era sfuggita!

quello che volevo sapere però era se ci fosse un modo di trovare soluzioni senza andare per tentativi.

Per esempio x è pari a 2y+3z o robe del genere ecco. Chiedo perché sono davvero messo fuori allenamento con questo argomento! Se ipotizziamo una variabile (tipo z) pari a un numero compreso tra -1 e +1. Cambia qualcosa o non si trova lo stesso una soluzione matematica?

[killing_buddha]

Penso che l'unico modo di procedere senza andare per prove ed errori sia immergere la tua cubica nello spazio proiettivo e poi sperare di poter avere degli strumenti di geometria algebrica elementare che te la classifichino.