determinare immagine e nucleo

[zio_mangrovia]

Qual è il procedimento per determinare immagine e nucleo della seguente applicazione lineare definita da :

$((1,-2,0,-1),(1,1,3,2),(-1,1,-1,0))$

per il nucleo immagino che debba cercare le soluzioni uguagliando il sistema a zero

[feddy]

Sì sostanzialmente devi trovare un $\mathcal{vec x} \in \mathbb{R^4}$ tale che $A \mathcal{vec x} = vec0$, dal momento che $f(vecv)=vec0$ corrisponde a $A vec v= vec0$, poiché che lo spazio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali è isomorfo allo spazio delle matrici.

Per l'immagine, una volta trovata $dim(ker))$ puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti: quelli sono una base per l'immagine.

[zio_mangrovia]

facendo il conto ottengo :
$x=-2z -t$
$y=-z-t$
$z=z$
$t=t$

quindi $(-2,-1,1,0)z+(-1,-1,0,1)t$

Ma non capisco perché la soluzione del nucleo sul testo sia <(-2,-1,1,0)(1,1,0,-1)>

Per l'immagine, una volta trovata $dim(ker))$ puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti: quelli sono una base per l'immagine.

Immagino che la dimensione del Ker sia $2$ visto che ottengo due vettori... ma non capisco il resto del calcolo per individuare la base dell'immagine.

[feddy]

Per il nucleo: cosa fa $A*((1),(1),(0),(-1))$?


Per l'immagine: estraine $n-2$ di linearmente indipendenti, con $n$ dimesione dello spazio di partenza

[zio_mangrovia]

Per il nucleo: cosa fa $A*((1),(1),(0),(-1))$?


Per l'immagine: estraine $n-2$ di linearmente indipendenti, con $n$ dimesione dello spazio di partenza

benissimo, il risultato è $(0,0,0)$ con entrambi i vettori sia $(1,1,0,-1)$ che $(-1,-1,0,1)$ quindi presumo che entrambi facciano parte del ker ma non capisco come determinare quello che è riportato nella soluzione dell'esercizio (cioè $(1,1,0,-1)$)

La dimensione dello spazio iniziale è 4 quindi per Gauss 4-2=2 è la dim dell'immagine, non capisco però cosa significhi:

puoi usare nullità più rango ed estrarre dalle colonne quelli linearmente indipendenti:

[feddy]

Sono definiti, come vedi, a meno di moltiplicazione per scalari (non nulli), quindi qualsiasi dei due trovati van bene...andrebbe bene anche $10^6 ((1),(1),(0),(−1))$.

Cosa vuol dire "per Gauss" ? Il teorema che devi usare è "thm. delle dimensioni" o "nullità più rango" (ha molti nomi), ma Gauss non l'ho mai sentito.
Se intendi ridurre la matrice a scala con Gauss, allora devi trovare che il rango è $2$. A questo punto devi estrarre due vettori linearmente indipendenti. Visto che non sai cosa significa, cerca sul forum o su internet...troverai valanghe di esercizi simili...

[zio_mangrovia]

Sono definiti, come vedi, a meno di moltiplicazione per scalari (non nulli), quindi qualsiasi dei due trovati van bene...andrebbe bene anche $10^6 ((1),(1),(0),(−1))$.

Cosa vuol dire "per Gauss" ? Il teorema che devi usare è "thm. delle dimensioni" o "nullità più rango" (ha molti nomi), ma Gauss non l'ho mai sentito.
Se intendi ridurre la matrice a scala con Gauss, allora devi trovare che il rango è $2$. A questo punto devi estrarre due vettori linearmente indipendenti. Visto che non sai cosa significa, cerca sul forum o su internet...troverai valanghe di esercizi simili...

in realtà volevo dire per il th di Grassman

[feddy]

Hai un po' di confusione a riguardo... la formula di grassmann a che ti può servire ora? Non c'entra proprio nulla purtroppo. Io mi riferisco a questo

[zio_mangrovia]

poiché che lo spazio delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali è isomorfo allo spazio delle matrici.

Rileggevo... cosa significa esattamente è isomorfo allo spazio delle matrici

[feddy]

Due spazi vettoriali vettoriali, $V$, $W$ per definizione si dicono isomorfi se esiste tra di loro un isomorfismo, cioè esiste un'applicazione $f: V \rarr W$ lineare e biiettiva.

Prova a mostrare che:

$Hom(V,W)$ (lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita rispettivamente $m$ e $n$) e $M a t (n,m)$ (spazio vettoriale della matrici di taglia $m xx n$ a coefficienti in $RR$ ) sono isomorfi.