Esercizio d'esame (sottospazi)

[marcoianna]

Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano con l'esercizio in questione capitatomi durante una prova d'esame.

Assegnato il seguente sottospazio:
U={(x,y,z,t) $ in $ R^4/x-y=0 , z-t=0}
a) determinare la dimensione e una base di U
b) determinare, se esistono, tre sottospazi Wi, i=1,2,3: dim(U $ nn $ Wi)=i
c) determinare, se esiste, una base per U $ nn $Wi per i=1,2,3.

a. per ricavare la dimensione e la base:
ricavo la matrice $ ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) ) $ con due pivot, ergo dim(U)=2
mentre per individuare la base scrivo il sistema $ { ( x-y=0 ),( z-t=0 ),( x=K ),( z=J ):} $
Dunque la base del sottospazio sarà B(U)= $ ul(k) $ (1,1,0,0), $ ul(j) $ (0,0,1,1)


Purtroppo con gli altri due punti non so come procedere. Spero in un vostro aiuto.
Grazie per l'attenzione.

[Plepp]

Hai fatto vedere che
\[U=\left\langle (1,1,0,0);(0,0,1,1) \right\rangle\]
quindi $U$ ha dimensione $2$.

Di conseguenza, non è possibile trovare $W_3$ di dimensione $3$ tale che $\dim (W_3\cap U)=3$, dal momento che $\dim (W_3\cap U)\le \dim U$.

Quanto a $W_2$: se hai uno spazio $V$ di dimensione $n$, qual è il suo unico sottospazio di dimensione $n$?

Quanto a $W_1$: va bene un qualsiasi sottospazio di $U$ di dimensione $1$, cioè il sottospazio generato da un qualsiasi vettore non nullo di $U$.

Riesci adesso a fare da solo il terzo punto?

[marcoianna]

Perdona il ritardo nella risposta ma solo ora ho controllato le mail.

Innanzi tutto ti ringrazio davvero tantissimo per avermi risposto, ma ci sarebbero ancora alcune cose che non mi sono chiare.
-Volevo capire.... quando ti assegna Wi in realtà cosa ti sta assegnando? un sottospazio arbitrario? ti sta assegnando la sua dimensione con i?

-quando dici
""Di conseguenza, non è possibile trovare $W_3$ di dimensione $3$ tale che $\dim (W_3\cap U)=3$, dal momento che $\dim (W_3\cap U)\le \dim U$" perchè posso dire che l'intersezione ha dimensione minore o uguale della dimensione di U?

- "Quanto a W2: se hai uno spazio V di dimensione n, qual è il suo unico sottospazio di dimensione n?"
mi verrebbe da risponderti se stesso.

-potresti spiegare cosa intendi qui? "Quanto a W1: va bene un qualsiasi sottospazio di U di dimensione 1, cioè il sottospazio generato da un qualsiasi vettore non nullo di U."

-Riguardo al terzo punto mi verrebbe da risponderti: i=1 B=(1,1,1,1) ; i=2 B=Span(Wi) ; i3= non è possibile


Perdona le troppe domande ma davvero non riesco a comprendere a pieno questo esercizio.
Ti ringrazio ancora della disponibilità, aspetto tue.
A presto

[Plepp]

-Volevo capire.... quando ti assegna Wi in realtà cosa ti sta assegnando? un sottospazio arbitrario? ti sta assegnando la sua dimensione con i?

La traccia mi sembra chiarissima, non capisco la tua perplessità.

-quando dici
""Di conseguenza, non è possibile trovare $W_3$ di dimensione $3$ tale che $\dim (W_3\cap U)=3$, dal momento che $\dim (W_3\cap U)\le \dim U$" perchè posso dire che l'intersezione ha dimensione minore o uguale della dimensione di U?

Ma è intuitivo...pensa a come è definita la dimensione di uno spazio vettoriale, cioè come il numero di vettori presenti in una qualunque base dello spazio.

- "Quanto a W2: se hai uno spazio V di dimensione n, qual è il suo unico sottospazio di dimensione n?"
mi verrebbe da risponderti se stesso.

Esatto. Per rendertene conto, ripensa ancora alla definizione della $\dim$: se $W="span"(w_1,...,w_n)$ è un sottospazio di $V$ e $n=\dim V$, allora $(w_1,...,w_n)$ è anche una base di $V$, quindi si ha $V="span"(w_1,...,w_n)=W$.

-potresti spiegare cosa intendi qui? "Quanto a W1: va bene un qualsiasi sottospazio di U di dimensione 1, cioè il sottospazio generato da un qualsiasi vettore non nullo di U."

Se $w\in U$, $w\ne 0$, allora $W_1:="span"(w)$ è uno spazio di dimensione $1$; essendo $w\in U$, si ha $W_1\subseteq U$, per cui $W_1\cap U=W_1$ e quindi l'intersezione ha dimensione $1$. No?

-Riguardo al terzo punto mi verrebbe da risponderti: i=1 B=(1,1,1,1) ; i=2 B=Span(Wi) ; i3= non è possibile

Per $i=1$ e $i=3$: ok; per $i=2$ non capisco cosa intendi: $"span(qualcosa)"$ indica lo spazio generato da $"qualcosa"$. Qual è una base di $W_2=U$?

[marcoianna]

Gentile Pelepp, sono quasi giunto all'illuminazione
Ti chiedo di confermare o confutare le mie conclusioni.

Dunque,
-la traccia, determinando Wi mi sta dicendo esplicitamente la dimensione del sottospazio! Ergo, l'intersezione tra il sottospazio di dimensione data e il sottospazio U(con dimensione fissa 2) avrà sempre dimensione al più uguale alla dimensione più piccola tra i due sottospazi.

Infine mi correggo per il terzo punto...
Con i=1 B(intersezione)=(1,1,1,1);
Con i=2 B(intersezione) =B(Wi) oppure =B(U);
Con i=3 non è possibile.

Ti ringrazio e aspetto una tua risposta per considerare finalmente risolto questo esercizio.
Saluti

[Plepp]

Tutto corretto

[Hrodebert]

Tutto corretto

Ciao Plepp, volevo chiederti un chiarimento riguardo all'ultimo punto.
Mi è tutto chiaro tranne il determinare una base per U intersecato W1(scusami ma non so usare LaTeX).

Ho scritto che , in generale, i vettori di U sono vettori del tipo u=(y,y,t,t).
Dunque devo considerare un sottospazio W1 che abbia in comune almeno un elemento, e ho scritto W1 formato da vettori del tipo w=(y,y,0,0).

Se considero la loro intersezione, ottengo un vettore del tipo (y,y,0,0) e dunque una sua base è B=(1,1,0,0).

E' cosi o ho sbagliato?

Grazie in anticipo.