Esercizio su spazi metrici compatti (non poi così metrici)

[otta96]

Tempo fa avevo visto un esercizio sulle funzioni continue da uno spazio metrico compatto $(X,d)$ (con $X!=\emptyset$), il testo non sono sicuro di ricordarmelo bene, mi sembra che fosse: "Sia $f:X->X$ continua, allora esiste un sottoinsieme $\emptyset!=A\subX$ con la proprietà che $f(A)=A$".
È vera questa cosa? Se si, come si dimostra?
Io ero solamente riuscito a notare che, in un caso particolare $X=[a,b]$, è una cosa nota e addirittura si può prendere un singoletto come $A$, quindi $f$ ha un punto fisso, ma in generale non saprei come fare.

[killing_buddha]

Hai dimenticato di dire "non vuoto" Non ti serve nessuna metrica, ti basta una topologia T2 compatta; se vuoi AC, usa il lemma di Zorn sull'insieme dei sottoinsiemi di $X$, chiusi e non vuoti, tali che $fA\subseteq A$.

[otta96]

Hai ragione, ho provveduto a modificare e grazie per l'hint, non mi sarebbe mai venuto in mente di usare il lemma di (Kuratowski-)Zorn, secondo te c'è anche una soluzione un po' più elementare o questo fatto è proprio equivalente all'assioma della scelta?

[otta96]

Dimmi se va bene come l'ho svolto: considero (grazie al suggerimento) l'insieme $\Omega={\emptyset!=F\subX|F \text{ chiuso},f(F)\subF}$, ora considero l'insieme parzialmente ordinato $(\Omega,<=)$ con il $<=$ definito così; $F_1<=F_2<=>F_2\subF_1$ e voglio applicarci il lemma di Zorn, quindi considero una catena $\Delta\sub\Omega$. Se considero $\bigcap\Delta=\bigcap_{K\in\Delta}K$, si ha che $AAK\in\Delta, K<=\bigcap\Delta<=>\bigcap\Delta\subK$ che è banalmente vero, quindi $\bigcap\Delta$ è minorante della catena in $P(X)$, ora dimostro che $\bigcap\Delta\in\Omega$; $\bigcap\Delta$ è chiuso perché intersezione di chiusi, inoltre $a\inf(\bigcap\Delta)<=>EEb\in\bigcap\Delta:f(b)=a<=>EEb\inX:AAK\in\Delta, b\inK,f(b)=a=>AAK\in\Delta,a\inf(K)\subK=>a\in\bigcap\Delta$,
tutto ciò implica che $f(\bigcap\Delta)\sub\bigcap\Delta$. Sul fatto che $\bigcap\Delta$ sia diverso dal vuoto ci torniamo dopo.
Quindi Zorn ci garantisce che esiste un elemento massimale di $\Omega$, dimostriamo che qualunque massimale di $\Omega$ soddisfa la proprietà richiesta dall'esercizio: sia $A$ un massimale di $\Omega$, in particolare $f(A)\subA$, considero $f(A)(!=\emptyset)$, $A$ è chiuso in un compatto $=>$ è compatto $=>f(A)$ è compatto in un $T_2=>$ è chiuso, e si ha che $f(A)\subA=>f(f(A))\subf(A)=>f(A)\in\Omega$, dunque $A<=f(A)$ (perché si sapeva $f(A)\subA$), ma essendo $A$ massimale si ha $f(A)=A$.
Avevo momentaneamente lasciato stare il fatto che $\bigcap\Delta$ fosse diverso dal vuoto perché non avevo trovato il modo di farlo, ma mentre scrivevo dovrei aver capito come si fa: per assurdo sia $\bigcap\Delta=\emptyset$, allora i complementari dei $K$ formano un ricoprimento di $X$ quindi $EEn\inNN:EEK_i,1<=i<=n:K_i\in\Delta, {X\setminusK_i}$ è un ricoprimento, ma visto che $\Delta$ era una catena rispetto all'inclusione, ogni suo sottoinsieme finito ha minimo, dunque esisterà un $K_\bar{i}$ tale che $X=X\setminusK_\bar{i}=>K_\bar{i}=\emptyset$, che è assurdo.
Mi dici se va bene? Ed eventualmente cos'è che non va bene, ah un'altra cosa, l'impaginazione è venuta un po' brutta ma non sapevo come renderla migliore, confido nel fatto che capirai tutto.

[otta96]

Mi sono dimenticato di dimostrare che $\Omega$ non è vuoto, rimedio subito: banalmente $X\in\Omega$.

[Delirium]

[...] Io ero solamente riuscito a notare che, in un caso particolare $X=[a,b]$, è una cosa nota e addirittura si può prendere un singoletto come $A$, quindi $f$ ha un punto fisso, ma in generale non saprei come fare.

A latere se il compatto è anche convesso, hai il teorema del punto fisso di Brouwer.

[otta96]

Ma questo vale solo per sottoinsieme di $RR ^n$ giusto?

[Delirium]

Ma questo vale solo per sottoinsieme di $RR ^n$ giusto?

Mmm Brouwer funziona in un qualsiasi spazio euclideo, ma poi hai Schauder che è ancora più generale.

Comunque era solo un commento a latere, senza pretesa di rispondere all'OP (non ho controllato la tua dimostrazione, magari domani).

[j18eos]

@otta86 Non vedo errori, ma potrei sbagliarmi...

[otta96]

Grazie delle risposte, ma stavo pensando, non è che funziona la stessa cosa se considero $K_0=X$ e $K_(n+1)=f(K_n)$, non è che come $A$ si può prendere $A=\bigcap_{n=0}^(+\infty) K_n$?
Sennò avrei fatto un po' di fatica per nulla...