Definizione fuorviante somma di sottospazi

[zio_mangrovia]

Nei miei appunti trovo questa definizione di somma diretta di sottospazi alquanto difficile per me da capire, secondo voi è giusta?

Sia $X$ uno spazio vettoriale e siano $X_i AAi=1..n$, i suoi $n$ sottospazi, si definisce somma diretta :
$\sum_{i=1}^nX_i={\sum_{i=1}^nx_i:x_iinX_i}$

se e solo se $AA x_i,x'_iinX_i$, $AAi=1..n$

$\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nx'_i$ $->x_i=x'_i $, $AAi=1..n$

cioè la somma dei vettori che occupano la stessa posizione nei sottospazi è uguale, corretto?


supponendo di avere 2 sottospazi $X_1$ e $X_2$
$X_1=$ \(\langle\)$x_1,x'_1$\(\rangle\)
$X_2=$ \(\langle\)$x_2,x'_2$\(\rangle\)

$\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nx'_i-> x_1+x_2=x'_1+x'_2$
significa che tutti i vettori che occupano la stessa posizione nei sottospazi sono uguali, corretto?


mentre vedo più pulita questa:

$X+Y={x+y: x inX,yinY}$

[dissonance]

Sono due cose diverse. Hai dato la corretta definizione di "somma" di due sottospazi. Se poi la somma verifica una certa proprietà, quella che hai scritto, allora si può dire che la somma è "diretta" e mettere un cerchietto attorno al più.

[killing_buddha]

Cosa ancora piu importante, evita di indicare con < e > ciò che possiede il simbolo dedicato \(\langle\) e \(\rangle\). Se lo fai, la spaziatura tra gli operandi è scorretta, perché < e > sono operatori di relazione, non parentesi.

[zio_mangrovia]

Cosa ancora piu importante, evita di indicare con < e > ciò che possiede il simbolo dedicato \(\langle\) e \(\rangle\). Se lo fai, la spaziatura tra gli operandi è scorretta, perché < e > sono operatori di relazione, non parentesi.

Provvedo!

[zio_mangrovia]

Sono due cose diverse. Hai dato la corretta definizione di "somma" di due sottospazi. Se poi la somma verifica una certa proprietà, quella che hai scritto, allora si può dire che la somma è "diretta" e mettere un cerchietto attorno al più.

Ma quello che ho scritto in grassetto è giusto?
Non apprezzo la differenza tra le due definizioni se non che nella prima si prendono in considerazioni $n$ sottospazi mentre nella seconda solo $2$

[zio_mangrovia]

Quello che non capisco è:

$\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nx'_i$ $->x_i=x'_i $, $AAi=1..n$

considero lo spazio $X^1$ e ne prendo due vettori $x_2^1$ e $x_4^1$
(il pedice indica la posizione nello span \(\langle\) \(\rangle\) mentre l'apice lo spazio vettoriale interessato)
considero lo spazio $X^2$ e ne prendo due vettori $x_4^2$ e $x_7^2$
quei simboli di sommatoria li traduco come :

$x_2^1$ + $x_4^2$ $=$ $x_4^1$ + $x_7^2$

giusto un esempio:

$x_2^1$=2
$x_4^2$=3
$x_4^1$=3
$x_7^2$ =2

$2+3=3+2$

ma la definizione di somma diretta segue dicendo : $x_i=x'_i $, $AAi=1..n$
quindi concludo che non può sussistere una circostanza di questo tipo,
perché dovrebbero essere uguali gli elementi appartenenti allo stesso sottospazio, nel mio caso:

$x_2^1$=$x_4^1$
$x_4^2$=$x_7^2$

cioè dovrei avere:

$x_2^1$=2
$x_4^2$=3
$x_4^1$=2
$x_7^2$ =3

So dicendo fesserie?
Grazie

[killing_buddha]

Sei tratto in inganno dal confondere due costruzioni sottilmente diverse: la somma diretta "esterna" \(V\overset{\text{ext}}\oplus W\) di due spazi vettoriali consiste dell'insieme delle somme formali \(\{v+w\mid v\in V, \; w\in W\). $V,W$ non devono essere sottospazi di un terzo spazio vettoriale, prima della somma, ma ne generano uno di cui sono sommandi diretti.

La somma diretta "interna", invece, presuppone che esista $U$ tale che $V,W\le U$; in questo caso la somma diretta $V\overset{\text{int}}\oplus W$ viene fatta quando $V\cap W$ è il sottospazio zero. Questa è una richiesta necessaria affinché sia ancora vero che i vettori di $U$ si possano scrivere univocamente come $v+w$: se supponi di poterlo fare in due modi, cioè di poter scrivere \(u=v+w=v'+w'\), allora il vettore \(v-v'=w-w'\) deve stare in $V\cap W$. Assumendo che quest'ultimo sia un solo elemento (lo zero) hai che \(v=v', w=w'\).

Ora per familiarizzare con questa nozione prova a dimostrare che dato $V\le U$ esiste sempre almeno un $W\le U$ tale che $V\cap W=0$. Come conseguenza ne esiste uno massimale (perché?) e allora è sempre vero che poi rompere $U$ come somma diretta di $V\overset{\text{int}}\oplus W$. Chi sono gli indecomponibili di $U$, ovvero i sottospazi tali che, se $Z\cong X\overset{\text{int}}\oplus Y$, allora o $X$ o $Y$ è zero?

[zio_mangrovia]

Tutto chiaro adesso!

Ora per familiarizzare con questa nozione prova a dimostrare che dato $V\le U$ esiste sempre almeno un $W\le U$ tale che $V\cap W=0$.

Ci provo, se considero lo spazio $W$ come $U-V$ sicuramente $V\cap W=0$ perché i vettori di $U$ apparterranno solo ad uno dei due sottospazi e non ad entrambi. Poi $W\leU$ viene da sé. Può andare?

Come conseguenza ne esiste uno massimale (perché?)

perchè $W$ rappresenta il complemento di $V$ rispetto ad $U$, cioè $W=U-V$

e allora è sempre vero che poi rompere $U$ come somma diretta di $V\overset{\text{int}}\oplus W$. Chi sono gli indecomponibili di $U$, ovvero i sottospazi tali che, se $Z\cong X\overset{\text{int}}\oplus Y$, allora o $X$ o $Y$ è zero?

Questa domanda va oltre le mie modeste conoscenze, mi spiace deluderti ma grazie per l'esauriente spiegazione

[killing_buddha]

Tutto chiaro adesso!

Ora per familiarizzare con questa nozione prova a dimostrare che dato $V\le U$ esiste sempre almeno un $W\le U$ tale che $V\cap W=0$.

Ci provo, se considero lo spazio $W$ come $U-V$ sicuramente $V\cap W=0$ perché i vettori di $U$ apparterranno solo ad uno dei due sottospazi e non ad entrambi. Poi $W\leU$ viene da sé. Può andare?

no, $U-V$ non è mica un sottospazio! E lo spazio generato da $U-V$ potrebbe intersecare $V$, come fai ad avere controllo su questa cosa?

Come conseguenza ne esiste uno massimale (perché?)

perchè $W$ rappresenta il complemento di $V$ rispetto ad $U$, cioè $W=U-V$

No, è perché ne esiste almeno uno, e ogni catena di tali sottospazi ha un maggiorante (se \(\bigcup_{i\in I}W_i\) interseca $V$ non nello zero, allora almeno uno dei $W_i$ interseca $V$ non nello zero, assurdo. Allora esiste un massimale tra i sottospazi che intersecano $V$ non nello zero. Del resto esiste un modo costruttivo di trovare tale sottospazio: si tratta esattamente dello spazio \(U/V\), ottenuto come insieme delle classi laterali \(\{a+V\mid a\in U\}\).

e allora è sempre vero che poi rompere $U$ come somma diretta di $V\overset{\text{int}}\oplus W$. Chi sono gli indecomponibili di $U$, ovvero i sottospazi tali che, se $Z\cong X\overset{\text{int}}\oplus Y$, allora o $X$ o $Y$ è zero?

Questa domanda va oltre le mie modeste conoscenze, mi spiace deluderti ma grazie per l'esauriente spiegazione

Pensaci; non è difficile. Quanto deve essere piccolo un sottospazio di $U$ affinché tu non possa ulteriormente romperlo?

[zio_mangrovia]

prima di rispondere alle tue domande purtroppo ho ancora bisogno di far luce su alcuni aspetti e se non seguo e do una risposta al mio modo di vedere le cose ho difficoltà a proseguire

La somma diretta "interna", invece, presuppone che esista $U$ tale che $V,W\le U$;

Immagino significhi $V,W\sube U$

se supponi di poterlo fare in due modi, cioè di poter scrivere \(u=v+w=v'+w'\), allora il vettore \(v-v'=w-w'\) deve stare in $V\cap W$.

perchè deve stare in $V\cap W$? Dove lo si afferma?
Immagino sia insito nella definizione di somma diretta, provo a ragionarci:
se il vettore $(v-v'=w-w')$ stesse in $V\cap W$ (che contiene il solo elemento zero) allora avremmo che $(v-v'=w-w'=0)$ e quindi $(v=v', w=w')$.
Se invece $V\cap W$ contenesse un vettore diverso da quello nullo allora verrebbe meno questa condizione $(v=v', w=w')$.
Nella definizione di somma diretta pertanto si impone che il vettore \(v-v'=w-w'\) appartenga $V\cap\W$ che sua volta imponiamo $V\cap\W=phi$