Determinare base di un sottospazio

[matemos]

Ciao a tutti, mi è sorto un dubbio con due esercizio. Vi inizio a postare il primo..

quando lavoro con un sottospazio del genere: ${(x,y,z,t);x+y+z=0}$ basta imporre il sistema con una equazione e trovare i generatori che sono anche la base, mettiamo però abbia un qualcosa del genere: ${(x,y,z,t);y+z=0,x=2}$
a questo punto non capisco se i miei generatori siano:
Ricavo che y=-z e ho due parametri liberi (non sto a rinominarli ma saranno in z e t) quindi venendo al dubbio:
La base quale sarà?
Qualcosa di questo tipo
$((2),(-z),(z),(t))=2((1),(0),(0),(0))+z((0),(-1),(1),(0))+t((0),(0),(0),(1))$
o della stessa forma $((2),(-z),(z),(t))=4((1/2),(0),(0),(0))+z((0),(-1),(1),(0))+t((0),(0),(0),(1))$
Oppure sarà
$((2),(-z),(z),(t))=((2),(0),(0),(0))+z((0),(-1),(1),(0))+t((0),(0),(0),(1))$
In sostanza non trattandosi "2" di un parametro non capisco come trattarlo nella ricerca del generatore perché se lo mettessi a coefficiente avrei un coefficiente fisso mentre z e t variano.
Riassumendo il punto cruciale: Posso trattarlo il 2 come coefficiente o no?
Grazie per la vostra chiarezza e il vostro aiuto.

[cooper]

Posso trattarlo il 2 come coefficiente o no?

no è un numero e basta. perchè un tuo generico vettore appartenga a quel sottospazio la x deve valere 2.

[matemos]

Grazie ma quindi potresti per favore scrivermi i generatori quali sarebbero per questo esercizio?

$((1),(0),(0),(0)),((0),(-1),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))$ questo non sarebbe comunque un sistema di generatori e una base per quel sottospazio?

Ti ringrazio

[staultz]

Ehm... ma quello non è un sottospazio, verifichi facilmente che non contiene il vettore nullo, da lì nascono i tuoi probleni.

Aspetta qualcuno più esperto cobfermi quanto ti dico ma ne sono abbastanza certo

[cooper]

Ehm... ma quello non è un sottospazio, verifichi facilmente che non contiene il vettore nullo, da lì nascono i tuoi probleni.

ed hai perfettamente ragione non me ne ero nemmeno accorto! le equazioni devono essere omogenee perchè altrimenti lo zero non apparterrebbe all'insieme.