Sto svolgendo dei vecchi temi d'esame e , da solo , non riesco a capire se i miei svolgimenti sono giusti o meno.Spezzetto il post in post più piccoli se ai moderatori va bene, per non creare una discussione troppo dispersiva.
Questo è il primo esercizio:
Sia $rho_(t): RR^3 -> RR^3$ una applicazione lineare cosi definita:
$rho_t (e_1) = te_1 + (t-1)e_2 + e_3; $
$rho_t (e_2) = (t-1)e_1 + (t-1)e_2;$
$rho_t (e_3) = e_1 + e_3$
1) scrivere la matrice $A_(rho_t)$ associata a $rho_t$;
2) determinare i valori di $t$ per cui $dim(Ker_(rho_t)) != 0$;
3) nel caso in cui $t = 1$, determinare $Ker(rho_(t=1)) e Im(rho_(t=1))$; la somma tra $Ker(rho_(t=1)) e Im(rho_(t=1))$ è diretta?
4) studiare la diagonalizzabilità di $rho_t$ al variare di $t$;
5) nel caso in cui $t = 1$ determinare gli autovalori con la loro molteplicità algebrica e geometrica e un
autospazio;
Questo è il mio svolgimento.
Punto 1
La matrice associata è $A = ( (t,t-1,1),(t-1,t-1,0),(1,0,1))$
Punto 2
Per cercare la dimensione del kernel ho usato un po Gauss per ottenere una matrice più semplice
$((t,t-1,1),(1,0,1),(0,0,0)) X = 0$
Quindi ho messo a sistema $ { ( x_1 + x_3 = 0 ),( tx_1 +(t-1)x_2 + x_3 = 0 ),( 0=0 ):} $ e ho ottenuto
${(x_3 = -x_1), ((t-1)(x_1 + x_2) = 0):}$
Concludendo che se $t=1 \rArr dim(Ker_(rho_t)) = 2$
mentre se $t != 1 \rArr dim(Ker_(rho_t)) = 1$
Quindi $dim(Ker_(rho_t)) != 0 AA t$
Punto 3
$A = ( (1,0,1), (0,0,0), (1,0,1) ) X = 0$
Allora si ha che i vettori che soddisfano la richiesta sono nella forma ${ ( x_1 = -x_2 ) , (AAx_2, AAx_3 ):}$
quindi come sapevamo la dimensione è 2 e una base è $Ker_(rho_1) = < ((-1),(1),(0)) , ((0),(0),(1))>$
Per il teorema della nullità si ha che $dim(Ker_(rho_t))+dim(Im_(rho_t)) = 3$ dato che siamo in $RR^3$
$dim(Im_(rho_t)) = 1$ e una sua base è $Im_(rho_t) = <((1),(0),(1))>$ ( una colonna della matrice $A$).
Per verificare se sono in somma diretta cerchiamo quando è vero che un vettore si può scrivere come combinazione del kernel e dell'immagine (moltiplico per $\lambda$ i vettori del kernel:
${(-\lambda_1 = \theta),(\lambda_1 = 0), (\lambda_2 = \theta):} \rArr (\lambda_1 = lambda_2 = theta = 0)$
Quindi sono in somma diretta, dato che l'unico elemento dell'intersezione è il vettore nullo.
Punto 4
Studia diagonalizzabilità al variare di $t$.
Sono partito considerando che $A=((t, t-1, 1), (t-1,t-1,0),(1,0,1))$ è simmetrica quindi per il teorema spettrale sicuramente diagonalizzabile.Oltretutto sappiamo che $dim(Ker(rho_t)) >= 1$ quindi sicuramente un autovettore per $A$ è $\lambda = 0$
Provo quindi a calcolare $det(A - 0*I) = 0$
e allora $det(A) = t(t-1) - (t-1) -(t-1)^2 = 0$ che porta a $0=0$ quindi la matrice è diagonalizzabile $AA t $.
Punto 5
Supponiamo $t=1$, trova autovalori con molteciplità algebrica e geometrica e un autospazio.
Allora ho riscritto la matrice con le condizioni richieste
$A= ((1-\lambda, 0, 1), (0, -\lambda, 0), (1,0,1-\lambda) ) v = 0$ e ho calcolato il determinante per trovare gli autovalori, da cui si ricava che sono $\lambda = 0$ con molteciplità algerica pari a 2 e $\lambda = 2$ con molteciplità algebrica pari a 1.
Allora ho cercato gli autovettori sostituendo nella matrice gli autovalori ottenuti e ho ricavato che un autospazio è
$E(A) = <((1),(-1),(0)), ((0),(0),(1)), ((1),(0),(1))>$
E con questo ho concluso, sperando di aver fatto tutto giusto
Grazie mille a chi si prende la briga anche solo di dargli un'occhiata