Buongiorno, questo è il mio primo post sul forum, nonostante vi segua da tempo, quindi spero di procedere nel modo corretto. Sono alle prese con questo esercizio:
Siano $V$, $W$ e $Z$ spazi vettoriali su un campo $bbb{K}$ e siano $f : V to W$ e $g : V to Z$ applicazioni lineari. Si mostri che $Ker f sube Ker g iff EE L : W to Z$ lineare tale che $g = L$ \(\circ\) $f$.
Nella prima implicazione, tenendo, quindi, ferma l'ipotesi che $Ker f sube Ker g$, ho dapprima mostrato che, nel caso generale, se $EE$ \(v_1, v_2\) $in V$ tali che $f$ \((v_1)\) $= f$ \((v_2)\) e $g$ \((v_1)\) $!= g$ \((v_2)\) si ha che $f$ \((v_1)\) $- f$ \((v_2)\) $!= g$ \((v_1)\) $- g$ \((v_2)\) per linearità $f$ \((v_1 - v_2)\) $= 0 != g$ \((v_1 - v_2)\), che implica \(v_1- v_2\) $in Ker f$ ma \(v_1- v_2\) $notin Ker g$, assurdo per l'ipotesi.
A questo punto ho bisogno di definire un'applicazione lineare che verifichi sempre l'inclusione e noto che, se ${$\(v_1, \dots , v_k\)$}$ è base del $Ker f$, posso completarla a una base ${$\(v_s, \dots , v_r\)$}$ del $Ker g$ e a una base ${$\(v_t, \dots , v_n\)$}$ di $V$ in questo modo ${$\(v_1, \dots , v_k, v_s, \dots, v_r, v_t, \dots , v_n\)$}$, si ha, quindi che \(v_s,..., v_r, v_t,..., v_n\) generano $Im f$.
Se non ho commesso errori teorici e/o di ragionamento, il mio obiettivo per definire $L$ è che si abbia $L(f(v)) = g(v)$, con $L$ definita su $L($\(v_s\)$),..., L($\(v_r\)$)$, però sono a un punto di stallo nello specificare un'immagine per tutta la mappa $L$. Anche perché, volendo considerare una base di $W$ invece che di $V$, non sempre gli $f(v)$ formano una base, appunto, di $W$ - a esempio: se $f$ non è suriettiva -.
Se avete suggerimenti e/o correzioni: sono tutte orecchie grazie!