Riferimento di Frenet

[liuk_83]

Ciao a tutti,
mi assale un dubbio terribile in merito al riferimento di Frenet.
Mi aspetterei infatti che durante il "moto" di quest'ultimo lungo la curva, i versori si mantenessero ortogonali.
Se quindi considero i versori nel punto $ s+ds $ , posso dire, facendo riferimento ad una parametrizzazione naturale, che:
$ vec(t) (s+ds)=vec(t) (s)+dvec(t) (s) $
$ vec(n) (s+ds)=vec(n) (s)+dvec(n) (s) $
$ vec(b) (s+ds)=vec(b) (s)+dvec(b) (s) $
con:
$ vec(t) (s)=(1,0,0) $
$ vec(n) (s)=(0,1,0) $
$ vec(b) (s)=(0,0,1) $
e
$ dvec(t) (s)=k(s)ds\cdotvec(n) $
$ dvec(n) (s)=-k(s)ds\cdot vec(t) +tau (s)ds\cdotvec(b) $
$ dvec(b) (s)=-tau (s)ds\cdotvec(n) $
di conseguenza:
$ vec(t) (s+ds)=vec(t)+k(s)ds\cdotvec(n) $
$ vec(n) (s+ds)=-k(s)ds\cdot vec(t) +vec(n)+tau (s)ds\cdotvec(b) $
$ vec(b) (s+ds)=-tau (s)ds\cdotvec(n) +vec(b)$
A questo punto vado a verificare l'ortogonalita della terna in $s+ds$ calcolando i seguenti prodotti scalari:
$ vec(t)(s+ds)\cdot vec(n)(s+ds)=0rArr vec(t)(s+ds)_|_ vec(n)(s+ds) $
$ vec(b)(s+ds)\cdot vec(n)(s+ds)=0rArr vec(b)(s+ds)_|_ vec(n)(s+ds) $
ma
$ vec(b)(s+ds)\cdot vec(t)(s+ds)!= 0 $
Quindi i due versori sopra indicati non sono perpendicolari!
Ne deduco che durante i suo moto lungo la curva la terna si è deformata???
Dove sbaglio?

[apatriarca]

Dimentichi che nella tua approssimazione stai ignorando ogni infinitesimo superiore al primo, ma nel calcolo del tuo prodotto scalare ottieni un \(ds^2\) che è certamente un infinitesimo di ordine superiore. Stai insomma facendo uso di strumenti sbagliati.

In realtà la terna di Frenet è ortogonale per ogni \(s\) per costruzione.. E' infatti sufficiente guardare la loro definizione. In effetti è possibile dimostrare l'ortogonalità della terna anche partendo dalle derivate usando il fatto che è antisimmetrica, ma è più semplice usare le definizioni.

[liuk_83]

Chiaro, grazie mille.

Rivedendo con più attenzione la definizione di differenziale insita in quella di differenziabilita, utilizzando le relazioni che ho elencato sto approssimando al primo ordine. È quindi coerente che il prodotto scalare $ vec(t)(s+ds)\cdot vec(b)(s+ds) $ venga del secondo ordine. Inoltre calcolando il prodotto vettoriale $ vec(t)(s+ds)^^ vec(n)(s+ds) $ , a meno dei termini del secondo ordine, torna $ vec(b)(s+ds)=-tau \cdot vec(n)+vec(b) $