Determinare area triangolo che ha come vertice 3 punti

[steing]

Fissato nello spazio un riferimento cartesiano ortonormale (positivio) R(O,x,y,z), sano assegnati i punti A(2,2,3) , B(1, -1, -1), C(0,1,0):
Calcolare l'area del triangolo che ha come vertici tali punti.

Per risolverlo avevo in mente di calcolare i tre lati AB. BC, AC e poi calcolare l'area con il semiperimetro... ma come calcolo AB con $ AB= ((XA-XB)^2-(YA-YB)^2)^(1/2) $ trovo $ (-8)^(1/2) $ . Come posso risolvere?
Grazie a tutti!!

[Magma]

$bar(AB)=B-A=(x_B-x_A,y_B-y_A)$

[kobeilprofeta]

Intanto $d (A,B)=sqrt ((x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2) $
Quindi c'è un più o non un meno.

Poi in realtà c'è una formula con un determinante

[cooper]

ma nelle vostre formule non mancherebbe anche la componente $z$?
io farei così: $d(AB)=sqrt((x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2 + (z_a-z_b)^2)$

[anto_zoolander]

$(V,*)$ spazio euclideo di dimensione $n$
$(O,B):=$ riferimento cartesiano
$A(a_1,...,a_n)$ - $B(b_1,...,b_n)$ - $C(c_1,...,c_n)$ punti di quelle coordinate
in realtà nemmeno le useró queste ultime

Poniamo $vec(AB)=vec(v)$ - $vec(BC)=vec(w)$ - $vec(AC)=vec(u)$
Intanto $vec(w)=vec(BC)=vec(AC)-vec(AB)=vec(u)-vec(v)$

Facendoti un breve disegno noti subito che il dato $vec(v)-cvec(u),c=(vec(v)*vec(u))/(||vec(u)||^2)$ è ortogonale ad $u$ e in particolare il vettore che congiunge il vertice $A$ con il piede dell’altezza relativa al lato $AC$.
Da qui si conclude subito che $A r e a = 1/2||vec(u)||*||vec(v)-cvec(u)||$

• $||vec(u)||*||vec(v)-cvec(u)||$

• $||vec(u)||*sqrt( ||vec(v)||^2-(vec(v)*vec(u))^2/(||vec(u)||^2))$

• $sqrt(||vec(v)||^2||vec(u)||^2-(vec(v)*vec(u))^2)$

dunque $A r e a = 1/2sqrt(||vec(v)||^2*||vec(u)||^2-(vec(v)*vec(u))^2)$

La quantità è ben definita per ogni coppia di vettori per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy.
Oggi domani ti servisse.

[kobeilprofeta]

Cos'è c e cu?

[anto_zoolander]

L’ho scritto. Poi $cu=(u*v)/(u*u)*u$

Edito quello sopra mettendo le frecce tre per una maggiore comprensione.

[sandroroma]

Io farei come segue (richiede qualche conoscenza del calcolo vettoriale).
L'area S di ABC , per note formule, è :
$S=1/2BA*CA*\sin\alpha$ [dove $\alpha$ è l'angolo tra i lati BA e CA)
La formula precedente si può anche scrivere come norma del prodotto vettore tra i vettori $\vec{BA}$ e $\vec{CA}$:
$S=1/2*||\vec{BA}\wedge vec{CA}||$
Nel nostro caso é :
$\vec{BA}=(-1,-3,-4),\vec{CA}=(-2,-1,-3)$
Facendo i calcoli ( lascio i particolari a te) si ha che:
$A_s(ABC)=5/2\sqrt3$