nulcleo di un' applicazione linerare

[lepre561]

Salve,
ho le idee abbastanza confuse sul come determinare il kernel(nucleo di un'applicazione lineare.
Ho bisogno di qualcuno che me schiarisca un po.

fisso un esempio per essere più chiaro
f(x1)=2x1-x2
f(x2)=x2+x3
f(x3)=x1-x2+x3

a questo punto mi blocco in quanto non capisco se bisogna risolvere il sistema imponendo che sia omogeneo oppure creare una matrice associata e calcolare rango e determinante.

Qualcuno che mi aiuti sono disperato

[feddy]

Sì, devi risolvere il sistema omogeneo $f(vecx )=vec0$.

[lepre561]

Sì, devi risolvere il sistema omogeneo $f(vecx )=vec0$.

e perchè in molti esercizi alcuni creano la matrice associata?

[feddy]

In questo caso basta risolvere un sistema, puoi scriverlo come matrice e ridurre con gauss, ma è un caso banale questo. La matrice associata magari viene fatta perché ci sono altre richieste in quella tipologia di esercizi

[lepre561]

e per determinare l'immagine invece?

[feddy]

Se $r$ è la dimensione del nucleo, e $dim(V)=n$, allora per nullità più rango basta estrarre $n-r$ vettori linearmente indipendenti dalla matrice associata.
Prova con il tuo esercizio

[Magma]

$f(x_1)=2x_1-x_2$
$f(x_2)=x_2+x_3$
$f(x_3)=x_1-x_2+x_3$

Ma cosa sono le $x_i, i=1,2,3$?

[feddy]

@Magma sono solamente un altro modo per chiamare le coordinate $x,y,z $ , tutto qui.

[Magma]

@feddy ero andato in palla perché ultimamente uso i pedici per indicare le coordinate di un vettore.