Gruppo topologico e connessione

[Bremen000]

Sono di nuovo alle prese con il tentativo di colmare le mie lacune topologiche.
Vorrei un controllo sul seguente esercizio:

Sia $G$ un gruppo topologico con elemento neutro $e$. Allora

1. Se $H \subset G$ è un sottogruppo, allora anche $\overline{H}$ è un sottogruppo.
2. La componente connessa di $e$ in $G$ è un sottogruppo chiuso.

Dimostrazione:
Sia \( \phi: G \times G \to G \)
\(\quad \quad \quad \,\, (a,b) \mapsto ab^{-1} \)

Essa è continua perché è la composizione della moltiplicazione e dell'inverso.

1. Siano $a,b \in \overline{H}$; è sufficiente mostrare che $ab^{-1} \in \overline{H}$. Per assurdo esista una coppia $(a,b) \in \overline{H} \times \overline{H}$ tale che $ab^{-1} \notin \overline{H}$. Poiché $\overline{H}$ è chiuso esiste un aperto $U \subset G$ tale che $ ab^{-1} \in U \subset G \setminus \overline{H}$. Poiché $phi$ è continua $phi^{-1}(U)$ è aperto è contiene $(a,b)$. Dunque esistono $V,W$ aperti di $G$ tali che $a \in V$, $b \in W$ e $(a,b) \in V \times W \subset \phi^{-1}(U)$. Poiché $a$ e $b$ appartengono alla chiusura di $H$ allora qualsiasi loro intorno aperto interseca $H$ stesso cioè esistono $v,w \in H$ tali che $v \in V \cap H$ e $w \in W \cap H$. Ma allora \(\phi((v,w)) \in \phi(V \times W)\) ovvero $vw^{-1} \notin H$ cioè $H$ non è un sottogruppo, assurdo.

2. Sia $C(e)$ la componente connessa di $e$, essa è chiusa. Basta dimostrare che è un sottogruppo. Siano $a, b \in C(e)$. Allora $\phi(C(e)\timesC(e))$ è connesso perché $\phi$ è continua e $C(e)$ è banalmente connesso. Inoltre $e= ee^{-1}$ e $ab^{-1}$ appartengono a $\phi(C(e)\timesC(e))$. Ma dunque $\phi(C(e)\timesC(e)) \subset C(e)$ e quindi in particolare $ab^{-1} \in C(e)$, ovvero $C(e)$ è un sottogruppo.

[Bremen000]

Nessuno?

[Martino]

Sì è tutto giusto! Ciao.

[Bremen000]

Ciao Martino! Grazie mille!!