Basi Ortogonali e Ortogonali su spazio nullo di una matrice

[Laemoth]

Quindi alla fine l' algoritmo non serve di per se' a trovare la base ortogonale, ma ad ortogonalizzare qualsiasi vettore per altri scopi, giusto?

Ma allora persiste il mio dubbio: qual e' la differenza tra calcolare la base ortogonale e calcolare la base dello spazio nullo?
Perche' in alcune slide per trovare una base ortogonale prendono le colonne dominanti, applicano gram-schmidt e danno i vettori risultati come risultato? o meglio, in quale frangente si puo' vedere che il risultato e' un vettore, dipendente da una variabile libera, e quando sono piu' vettori specifici? (ammesso che questa differenza esista a questo punto, perche' in realta' sono piuttosto confuso).

[Magma]

Quindi alla fine l' algoritmo non serve di per se' a trovare la base ortogonale, ma ad ortogonalizzare qualsiasi vettore per altri scopi, giusto?

Questa non l'ho capita. L'algoritmo serve per ortogonalizzare i vettori: se cerchi è una base ortogonale allora applichi Gram-Schmidt, ma se la base è già ortogonale non serve; concordi su questo?

Ma allora [...] qual e' la differenza tra calcolare la base ortogonale e calcolare la base dello spazio nullo?

Non capisco cosa tu intenda per spazio nullo. Per me è questo $V={0}$, il quale non ha base!

Perche' in alcune slide per trovare una base ortogonale prendono le colonne dominanti, applicano gram-schmidt e danno i vettori risultati come risultato? o meglio, in quale frangente si puo' vedere che il risultato e' un vettore, dipendente da una variabile libera, e quando sono piu' vettori specifici?

Questo metodo non lo conosco o, per lo meno non ben capito come si esplica, per cui non posso rispondere. È online questa slide?

P.S. per curiosità: cosa studi?

[Laemoth]

Studio informatica all' UNIVR e algebra lineare e', insieme ad analisi I, l' unico esame che mi manca per terminare il primo anno.

Comunque, allego una slide dove si parla appunto dei metodi per calcolare la base ortogonale (e ortonormale, ma non viene solitamente richiesta) e un compito dove viene per l' appunto chiesta una base dello spazio nullo di A.
https://drive.google.com/open?id=1jsR5k ... 8VsbNKwcrV


Che magari sono davvero scemo io e mi sto scervellando sull' ovvio, non lo escludo, pero' almeno vorrei arrivare a vederchi chiaro.

[Magma]

Dando una letta veloce, mi è sembrato di capire che per spazio nullo si intenda il $ker(f)$ e per spazio delle colonne $Im(f)$; infatti, data una funzione lineare

$f: RR^m->RR^n$

esiste un isomorfismo tale che

$f:=L_A(v):=Av$

dove $A$ $nxxm$ è la matrice rappresentativa.

Si può dimostrare che

$ker(f)=ker(L_A):={v in RR^m : qquad Av=bar(0)}$

cioè il calcolo del nucleo, quello che il tuo professore chiama spazio nullo, è rimandato al calcolo di un sistema lineare omogeneo. E si può anche dimostrare che

$Im(f)=Im(L_A)=mathcal(L){C_1,...,C_r}$

con $C_i$ colonna $i-\text{esima}$ colonna di $A$ e $r=r(A)$¹; ovvero che l'immagine di un'applicazione lineare è generata dalle immagini delle colonne della matrice rappresentativa dell'applicazione stessa.

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Note

1. Sostanzialmente $dim(Im(f))=r(A)$ ↑

[Laemoth]

ok, e quindi in tutto questo...tornando alla domanda iniziale, qual e' la reale differenza?

e poi, se noti nelle slide per trovare la base ortogonale non mettono tutta la matrice U a sistema, ma solo le colonne con il pivot, mentre per calcolare lo spazio nullo viene messa a sistema tutta la matrice, che alla fine e' l' unica differenza che sono riuscito a trovare.

E qui torniamo alla primissima domanda: prendendo solo le colonne con pivot pero' ci troviamo 3 vettori a sistema (...giusto?), che ci danno quindi due incognite, cosa che non va bene, che si fa dunque?

E quindi sempre tornando al discorso iniziale, ma quindi il mio procedimento iniziale per trovare lo spazio nullo, ora che abbiamo appurato di che si tratta, era giusto?

[Magma]

Tornando alla domanda iniziale, qual e' la reale differenza? qual e' la differenza tra calcolare la base ortogonale e calcolare la base dello spazio nullo?

Che differenza c'è tra una mela e una pera?
Calcolare la base del $ker(f)$, ovvero quello che tu chiami spazio nullo¹, equivale a risolvere un sistema lineare omogeneo. Calcolare una base ortogonale lo si fa applicando l'algoritmo di Gram-Schmidt. Sono due cose diverse.

e poi per trovare la base ortogonale non mettono tutta la matrice U a sistema, ma solo le colonne con il pivot, mentre per calcolare lo spazio nullo viene messa a sistema tutta la matrice, che alla fine e' l' unica differenza che sono riuscito a trovare.

Infatti ti ho già detto che $ker(f)$ e $Im(f)$ sono due cose diverse.

prendendo solo le colonne con pivot pero' ci troviamo 3 vettori a sistema (...giusto?), che ci danno quindi due incognite, cosa che non va bene, che si fa dunque?

Non capisco a che ti serva mettere le colonne a sistema, anzi che idea hai di sistema tu?

E quindi il mio procedimento iniziale per trovare lo spazio nullo, ora che abbiamo appurato di che si tratta, era giusto?

Per spazio nullo non si intende che $alpha=0$, ma ${Ain RR^(nxxm), v in RR^m : qquad Av=bar(0)}$, ed è lecito cercarlo² sia per $alpha=0$ che $alpha=2$.

P.S.

ripeto:

Se il ker è non banale, allora una base si trova risolvendo un sistema lineare omogeneo: $Av=bar(0)$
l'immagine è generata dalle immagini delle colonne di $A$: ${f(C_1),...,f(C_r)}$ (per avere una base occorre però verificare che tali immagini siano indipendenti³).
Se vuoi che questa base sia ortogonale, allora applichi Gram-Schmidt.

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Note

1. Non mi va giù questo termine perché, come già fatto notare, è ambiguo. ↑
2. Il $ker(f)$ potrebbe essere banale: cioè contenente il solo vettore nullo. ↑
3. Cosa non necessaria se la funzione è iniettiva! ↑