Esercizio su funzione lineare.

[galles90]

Buonasera,

Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R^3}[x] \to \mathbb{R^3}[x] \) l'applicazione di \(\displaystyle \mathbb{R^3}[x] \) in se definita nel modo seguente

\(\displaystyle p(x) \to xp'(x) \)

.

1) Provare che f è lineare. Esplicitare l'endomorfismo .
2) Trovare \(\displaystyle f(V) \) dove \(\displaystyle V={ax^2+bx-b:a,b \in \mathbb{R}} \).

Vi riporto il mio svolgimento, cosi potete cogliere le mie lacune. Spero che qualcuno di buona volonta mia dia una mano .

1 ) Per provare la linearità, procedo nel seguente modo :

siano \(\displaystyle p_1, p_2 \in \mathbb{R^3}[x] \) e \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \) si ha:
\(\displaystyle (p_1+p_2)(x)=x(p_1'+p_2')(x)=x(p_1'(x)+p_2'(x))=xp_1'(x)+xp_2'(x) \)
\(\displaystyle p(ax)=axp'(x)=a(xp'(x))=ap(x). \)

quindi "secondo me" \(\displaystyle f \) è lineare.

Per esplicitare l'endomorfismo, credo che basti soltando dire che ( non voglio dire una c...... ) :
Dall'algebra delle derivate si ha che la somma di due derivate, è ancora una derivata.

Invece per il punto 2) non so procedere.

spero nella buona fede di qualcuno.

Ciao

[Cantor99]

Ciao, questo esercizio io l'ho svolto così: la prova della linearità è giusta e per "esplicitare" l'endomorfismo io ho inteso scrivere $f$.

Dato $p=ax^3+bx^2+cx+d$ è $xp=3ax^3+2bx^2+cx$, quindi $f: ax^3+bx^2+cx+d in RR_3[x]-> 3ax^3+2bx^2+cx inRR_3[x]$

Per il punto 2) penso basti fare così
$f(ax^2+bx-b)=af(x^2)+bf(x)-bf(1)$ dove $f(x^2)=2x^2$, $f(x)=x$ e $f(1)=0$, dunque $f(V)={2ax^2+bx| a,b in RR}$

Ricorda (anche se non l'ho detto prima ) che essendo studente come te, sono fallibilissimo!

[galles90]

Ciao
grazie che per la risposta, scusa se rispondo ora, ma ho avuto una settimana un pò intensa.

Comunque sono d'accordo con te. Anche se ci sono dei punti dove hai scritto :
\(\displaystyle f(x^2)=2x^2 \), invece penso che intendessi scrivere \(\displaystyle f(x^2)= 2x \) e cosi via.

[Cantor99]

Ho usato la definizione di $f$
$f(x^2)=x*D[x^2]=x*(2x)=2x^2$