Ciao, riuscirò mai ad imparare a svolgere questi esercizi???
Nello spazio euclideo $RR^3$ dotato del prodotto scalare standard, si consideri la proiezione ortogonale $p:RR^3 rarr RR^3$ sul sottospazio $W$ generato dai vettori $(1,0,1)^t$ e $(2,1,1)^t$.
a) Determinare la matrice associata a $p$ rispetto alla base canonica di $RR^3$.
b) Determinare l'ortogonale di $Im(p)$.
Per il punto a) non mi dilungo nei conti perchè sono sicuro del mio risultato:
$M_p=((2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,-1/3),(1/3,-1/3,2/3))$
Per il punto b), in pratica dovrei applicare la proiezione ai vettori che formano la base del sottospazio immagine si $p$ stesso, giusto?
La matrice associata alla proiezione ortogonale è composta dai vettori che generano il sottospazio immagine, pertanto ne cerco la base:
$((2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,-1/3),(1/3,-1/3,2/3)) rarr ((2,1,1),(0,3/2,-3/2),(0,0,0))$
quindi
$B_(Im(p))={((2/3),(1/3),(1/3)),((1/3),(2/3),(-1/3))}$
A questi applico la proiezione ortogonale:
$((2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,-1/3),(1/3,-1/3,2/3)) ((2/3,1/3),(1/3,2/3),(1/3,-1/3))=((2/3,1/3),(1/3,2/3),(1/3,-1/3))$
$B_(Im(p))^(_|_)={((2/3),(1/3),(1/3)),((1/3),(2/3),(-1/3))}$
Rimango un po' perplesso...
Che mi dite?