Differenza tra dimensione e ordine di una matrice.

[JackPirri]

Sono uguali oppure c'è una differenza?Grazie.

[Magma]

Data una matrice $M$ $nxxm$ si dice che essa ha $n$ righe e $m$ colonne.
Data una matrice quadrata $Q$ $nxxn$, si definisce ordine della matrice il valore di $n in NN$.

Per dimensione di una matrice non so cosa tu voglia intendere. Per me la dimensione è, per definizione, il numero di vettori contenuti in una base $mathcal(B)$ di uno spazio vettoriale $V$; ovvero la cardinalità della base:

$dim(V):=|mathcal(B)|$

[JackPirri]

Prendiamo A di ordine 3×3.La matriche ha ordine 3×3 o ordine 3.Sul libro c'è scritto che la dimensione di una matrice è il prodotto tra il numero di eighe e il numero di colonne.Non va indicata come numero ma come prodotto.Quindi la dimensione di A (penso io) sarebbe 9?Ma si indica 3×3(allo stesso modo dell'ordine della matrice).Da qui la mia perplessità.Grazie

[Magma]

Prendiamo $A$ $3×3$. Sul libro c'è scritto che la dimensione di una matrice è il prodotto tra il numero di righe e il numero di colonne. Non va indicata come numero ma come prodotto. Quindi la dimensione di $A$ (penso io) sarebbe $9$?
Ma si indica $3×3$ (allo stesso modo dell'ordine della matrice). Da qui la mia perplessità.

Perplessità più che valida con una definizione del genere. Che libro è?

Si definisce matrice quadrata di ordine $n$ una matrice del tipo $nxxn$; e si pone $M_n(RR)$ o $RR^(n,n)qquad $¹

Uno spazio vettoriale generato dalle matrici di ordine $n$ ha dimensione $nxxn$; ad esempio

$V={((a,b),(c,d)) : qquad a,b,c,d in RR}$

ovvero

$V=mathcal(L){((1,0),(0,0)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0)),((0,0),(0,1))}$

ed essendo il sistema di generatori costituito da vettori l. i., esso rappresenta una base di $V$, per cui $dim(V)=4$.

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Note

1. Scrittura giustifica dall'isomorfismo tra lo spazio delle matrici di ordine $n$ e dei vettori di $RR^(nxxn)$. Forse il libro vuole distinguere (a che pro?) la dimensione di uno spazio dei vettori da quello delle matrici quadrate. Rimane il fatto che la dimensione è associato a uno spazio vettoriale e non a una matrice! ↑

[JackPirri]

Grazie tante.

[dissonance]

Si tratta di semplice incomprensione. Il simbolo \(\times\) in questo contesto NON SIGNIFICA prodotto. In particolare, \(3\times 3\) si legge "tre per tre" e NON è uguale a 9.

[Magma]

Però a cosa corrisponderebbe la dimensione di una matrice?

[dissonance]

Probabilmente il libro intende che la dimensione è \(3\times 3\), oppure \(4\times 10\), o in generale \(n\times m\). Non mi sembra una cosa tanto importante, è solo una terminologia.