Verifica dei Sottospazi Vettoriali

[lilko]

Salve voelvo chiedervi se procedo correttamente in questo esecizio seppur banale ma mi manda in gangheri:
X = {(x,y) : xy= 0} è o meno un sottospazio vettoriale.
Io a questo punto procedo applicando la definizione:
1) Contiene (0,0) in quanto 0*0 = 0;
2) qua ho i dubbi perchè scelgo $ u , v in X $ per cui ho $ u= (x',y') v=(x'',y'')$ per cui $u+v = (x'+x'',y'+y'') $ quindi segue $(x'+x'')(y'+y'')$ sin qui mi viene da dire che non è chiuso rispetto alla somma e quindi non è un sottospazio vettoriale ma se facessi i conti $x'y' + x''y''$ mi sembra che non sia più chiuso rispetto alla somma o sbaglio?

[Magma]

Ciao,

$X={((x),(y)) in RR^2 : qquad xy=0 hArr x=0 vv y=0}$

$((1),(0)), ((0),(1)) in X$, ma $((1),(0))+((0),(1)) notin X $

[lilko]

magma scusami il ragioanmento che ho fatto io quindi non va bene? Cioè come mai poi se proseguo i calcoli mi sembra di rispettare la condizione?

[Magma]

Non l'ho letto il tuo ragionamento, si vedo ad occhio nudo un controesempio che prova che $X$ non è chiuso e, siccome la chiusura deve essere rispettata $AA v,w in X$ ed $EE z=v+w notin X$, ciò basta per dire che $X$ non è un sottospazio

[lilko]

si ok capito, il mio dubbio è perchè se continuo il calcolo che ho fatto ovvero u,v∈X per cui ho u=(x',y')v=(x'',y'') per cui u+v=(x'+x'',y'+y'') quindi segue (x'+x'')(y'+y'') sin qui mi viene da dire che non è chiuso rispetto alla somma e quindi non è un sottospazio vettoriale ma se facessi i conti x'y'+x''y'' mi sembra che non sia più chiuso rispetto alla somma? Cioè perchè la parte in rosso mi sembra che non rispetti la condizione del controesempio?

[Magma]

$u,vinX$ per cui ho $u=((x'),(y')), v=((x''),(y''))$ per cui $u+v=((x'+x''),(y'+y''))$ quindi segue $(x'+x'')(y'+y'')$

sin qui mi viene da dire che non è chiuso rispetto alla somma e quindi non è un sottospazio vettoriale
ma se facessi i conti $x'y'+x''y''$ mi sembra che non sia più chiuso rispetto alla somma?

E quindi qual è il problema?

perchè la parte in rosso mi sembra che non rispetti la condizione del controesempio?

Non ti seguo, che condizione del controesempio dovrebbe rispettare? Il controesempio non è una regola universale, è solo un particolare esempio che smonta una determinata tesi.

[lilko]

perchè sicuramente erronemante non capisco come mai $x'y' + x''y'' $ non sia chiuso, cioè a quel punto io mi immagino di sostituire (1,0) e (0,1) che fa 0+0 quindi sarebbe chiuso a quel punto. In altre parole $x'y'+x''y''$ perchè è chiuso come faccio a dirlo? Questo non riesco a capire

[Magma]

mi immagino di sostituire $((1),(0))$ e $((0),(1))$ che fa $0+0$ quindi sarebbe chiuso a quel punto.

Intanto preciso che se $e_1+e_2$ appartenesse a $X$ (cosa che non è) non sarebbe più un controesempio.
Prendi la proprietà della chiusura che deve essere rispettata da un sottospazio:

$(1) : qquad AA x,y in V, qquad x+yinV$

la cui negazione è

$(2) : qquad EE x,y in V : qquad x+y notin V$

la $(1)$ deve valore per ogni coppia di vettori affinché $X$ sia un sottospazio¹, mentre basta una sola coppia di tipo $(2)$ per dimostrare che $X$ non è sottospazio. Spero si chiaro.


Non ho capito che tipo di somma hai fatto, però

$((1),(0))+((0),(1))=((1),(1)):=z$

Ora, ricordando come è definito $X:={((x),(y)) in RR^2 : qquad xy=0}$, affinché $z$ si contenuto in $X$ è necessario che

$1*1=0$

ma ciò non è vero, almeno non in $RR$ . Si conclude che $X$ non è chiuso rispetto alla somma.

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Note

1. Ipotizzando che sia già stata verificata la chiusura di moltiplicazione per scalare ↑

[lilko]

ti ringrazio innanzitutto per la disponibilità e per la pazienza ahah, comunque

Non ho capito che tipo di somma hai fatto, però

In pratica come avevo fatto, ovvero, $ x'y' + x''y'' = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 $ ,dato che $v = (0,1)$ e $ w = (1,0)$ a causa di questo ero convinto che venisse 0