Determinare, se esistono, tre sottospazi Wi , i = 1, 2, 3: dim(Wi ∩ U) = i.

[rion3246]

Assegnato il seguente sottospazio:




Salve a tutti, sto avendo qualche dubbio nello svolgimento dell'esercizio in allegato. Il punto a) l'ho svolto trovando una base del sottospazio B(u)=(1,1,0,0),(0,0,1,1). Il problema però sorge con i punti b) e c), perché determinare il sottospazio è un esercizio che mai abbiamo fatto con il professore, ma è uscito nell'ultima data di esame. Grazie Mille in anticipo.

[Trilogy]

Intanto comincia a chiederti se esistono. È possibile intersecare quello spazio con un altro (ottenendo quindi qualcosa di più piccolo) e trovare così uno spazio di dimensione 3?

Più vai avanti, più vedrai che ti verrà naturale risolvere esercizi. Una domanda che puoi sempre porti è "Che cosa posso usare?", e in questo caso non hai quasi niente, a parte lo spazio e una base per esso... Prova a generare qualche spazio usando le cose che hai.

[rion3246]

Ma sostanzialmente ciò che devo fare sono 3 sottospazi supplementari

[Trilogy]

Ma sostanzialmente ciò che devo fare sono 3 sottospazi supplementari

Non credo, se con "supplementare" intendi qualcosa che sommato a ciò che hai ti dà tutto lo spazio ambiente.

Io ho pensato a una cosa banalissima: il tuo sottospazio $U$ ha come base i vettori $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$, ha dimensione $2$. Tanto per cominciare, sei d'accordo che NON esiste un sottospazio $W_3$ tale che $\dim(U\cap W_3)=3$? Seconda cosa: hai che $\dim(U)=2$, quindi per $W_2$ puoi molto semplicemente considerare $U$ stesso, oppure $\mathbb{R}^4$. E per $W_1$ puoi decidere di prendere lo spazio generato da uno dei due vettori della base di $U$.

[rion3246]

Grazie Mille, così risulta molto semplice. Anche se per w2 e w3 tutto chiarissimo, ma per w1, come faccio a determinare un sottospazio a partire da un solo vettore. Basta fare il prodotto tra (x,y,z,t) ed (1,1,0,0)? Grazie Mille ancora, scusami se insisto con queste domande ma ho l'esame tra 3 ore e ho scoperto solo ieri che ha messo questo tipo di esercizio nelle ultime 2 date.

[Trilogy]

In generale, in un $k$-spazio vettoriale $V$ il sottospazio generato da un vettore $v$ è semplicemente l'insieme
$$\{av \mid a\in k\}.$$
Di solito si denota $$\mathrm{sp}(v),\qquad\mathrm{span}(v),\quad\text{oppure}\quad\langle v\rangle.$$

Ad esempio il sottospazio generato da $(1,1,0,0)$ puoi scriverlo come
$$\langle(1,1,0,0)\rangle=\{(a,a,0,0)\mid a\in\mathbb R\}.$$

[rion3246]

Perfetto tutto chiarissimo. Grazie mille ancora per la tua disponibilità. =D