Chiarimenti su combinazione lineare esercizio

[maxpix]

Buongiorno a tutti, di seguito inserisco il testo di un esercizio in parte svolto.
Mancano solamente due punti.

Codice:

Si considerino tre vettori linearmente indipendenti u; v;w in R3. Si definiscano
x = 3u - 2v + w
y = u + 2v + 2w
z = u + v
t = 3x - y
(a) I vettori x; y; t sono linearmente indipendenti?
(b) I vettori x; y0 sono linearmente indipendenti?
(c) I vettori x; y; z sono linearmente indipendenti?
(d) Si può scrivere z come combinazione lineare di x; y; t?
(e) Si può scrivere u come combinazione lineare di x; y; z?

I due punti mancanti sono gli ultimi due.
Ma basta risolverne uno, procedimento sarà uguale.
Allora, sappiamo che un vettore può essere scritto come combinazione lineare di altri vettori se è possibile trovare degli scalari tali che (in questo caso) (u, v, 0) = a(3u, -2v, w) + b(u, 2v, 2w) + c(8u, -8v, w).
Questo ci porta ad avere il seguente sistema:

${ ( 3au-2bv+cw=u ),( au+2bv+2cw=v ),( 8au-8bv+cw=0 ):}$

è giusto il procedimento? il mio dubbio è che così facendo i calcoli per trovare a, b, c diventino troppo complessi con il rischio di sbagliare.

Grazie a tutti

[Magma]

Per quanto riguarda il punto $d)$ basta che fai attenzione alla risposta che hai dato in $a)$.

[Ragazzo123]

non ti conviene trasformarla in forma matriciale, poi con il metodo di eliminazione di gauss la riduci e la riporti nuovamente come un sistema semplificato...

[@melia]

Veramente i due punti che ti mancano non sono esattamente equivalenti. Inoltre la domanda NON è quella di calcolare i coefficienti della combinazione lineare, ma semplicemente se questa ammette o no soluzione.

Se hai risposto correttamente al punto (c) sai che $x$, $y$ e $z$ sono linearmente indipendenti, $t$ è dipendente da $x$ e $y$, quindi è come se non ci fosse, e la richiesta (d) si traduce in "è possibile scrivere $z$ come combinazione lineare di $x$ e $y$?"
Per la (e) la risposta è che se $x$, $y$ e $z$ sono linearmente indipendenti allora possono essere considerati una base di $RR^3$, perciò ogni vettore di $RR^3$ può essere scritto attraverso una loro combinazione lineare.