Dubbio sulle dimostrazioni sui determinanti

[Cantor99]

Nel mio corso si è usata la seguente definizione di determinante di una matrice $A={a_ij} in K^(m,n)$
$det(A)=\sum_{p in S_n} s(p)a_(1p(1))*...*a_(np(n))$
(dove $s(p)$ è il segno della permutazione

Ora nelle dimostrazioni spesso si usa il fatto che se $f: p in S_n ->q in S_n$ è un'applicazione biettiva e $s(p)=s(q)$, allora
$\sum_{p in S_n} s(p)a_(1p(1))*...*a_(np(n)=$ $ \sum_{q in S_n} s(q)a_(1q(1))*...*a_(nq(n)$

Non sarei però come poterlo affermare con sicurezza. Come si potrebbe "formalizzare"? C'è qualche proprietà Delle sommatoria che non conosco?

[killing_buddha]

A giudicare da quel che scrivi, credo tu stia dicendo questo: una sommatoria indicizzata sugli elementi di $S_n$ non dipende dal nome dell'indice che usi per sommare; ma questo mi sembra una ovvietà dovuta a cos'è una sommatoria.

Forse, quello che intendi è che se $\sigma$ è una permutazione, essa agisce permutando $S_n$ (cioè c'è un automorfismo del gruppo $S_n$ che manda $\tau$ in $\sigma\circ\tau$), e come conseguenza del fatto che questa funzione è biiettiva si ha che
\[
\sum_{\tau\in S_n} s(\tau)\prod_{i=1}^n a_{i,\tau(i)} = \sum_{\tau\in S_n}s(\sigma\tau)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma\tau(i)} = \sum_{\sigma^{-1}\lambda\in S_n} s(\lambda)\prod_{i=1}^n a_{i,\lambda(i)}
\]

[Cantor99]

\[
\sum_{\tau\in S_n} s(\tau)\prod_{i=1}^n a_{i,\tau(i)} = \sum_{\tau\in S_n}s(\sigma\tau)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma\tau(i)} = \sum_{\sigma^{-1}\lambda\in S_n} s(\lambda)\prod_{i=1}^n a_{i,\lambda(i)}
\]

Praticamente il mio dubbio è il primo passaggio. Hai lasciato variare $\tau$ ma hai "inserito" $\sigma\tau$. Sarà un'ovvietà di sicuro ma non riesco a visualizzarla

[killing_buddha]

Al variare di \(\tau\in S_n\), \(\sigma\tau\) percorre l'intero insieme \(S_n\), solo in un ordine diverso (proprio perché \(\sigma\circ\_\, : S_n\to S_n\) è una biiezione). La somma è commutativa, e dell'ordine dei suoi termini se ne frega.

[Cantor99]

Grazie mille ora mi è tutto più chiaro