Esercizio risoluzione sistema lineare con matrici

Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un quesito di algebra lineare riguardo i sistemi lineari e la loro risoluzione con le matrici.

Il testo mi chiede di indicare se queste affermazioni sono vere o false:

1) il sistema lineare:
$\{(x + y + k^2z = 0),((4k + 1)x - y - (8k^2 - 1)z = 1),(x + y + z = 0):}$

c) per k = $-1/2$ il sistema non ammette alcuna soluzione reale.

2) data la matrice:
$((4,0,0),(1,1,0),(2,0,k))$

a) il vettore $((0),(0),(4))$ è soluzione del sistema A$\vec x$ = $\vec 0$

Per il primo quesito sostituisco k e con il metodo dell'eliminazione di Gauss trovo il rango della matrice completa e incompleta trovando che sono uguali e massimi (quindi una sola soluzione per il teorema di Rouché-Capelli), trovando anche il vettore soluzione.
Per il secondo sostituisco ancora k e trovo come soluzione il vettore nullo $((0),(0),(0))$.
Per cui entrambe le soluzioni vengono FALSE ma dalle soluzioni che ci hanno dato sono entrambe VERE.

Se qualcuno è in grado di fornirmi la soluzione ai quesiti mi farebbe un grande favore.

grazie,

Jacopo

Se metti $k=\frac{1}{2}$ si vede subito che il sistema non ha soluzione: infatti si ha sia $x+y+z=0$ che $-x-y-z=1$. Inoltre il rango della matrice incompleta non è massimo (perché ci sono due righe proporzioni) mentre quello della completa lo è.

Per il secondo quesito, il determinante della matrice è $4k$. Dunque se $k!=0$ l'unica soluzione è il vettore nullo. Se $k=0$, invece, la soluzione è data dagli infiniti vettori del tipo $(0,0,h)$, con $h in RR$, e, in particolare, da $h=4$

ciao Cantor99, grazie per la risposta.

Per il quesito 1 ok, ho capito (il sistema dava una soluzione (x,y,z) ma non verificava nessuna delle equazioni di partenza).

Il secondo invece non capisco come dal determinante trovo il vettore soluzione.

grazie,

Jacopo

Non so se ho male interpretato il punto 2): ho inteso volesse sapere se esiste un $k$ per cui $(0,0,4)$ è soluzione del sistema $Ax=O$

Ora ho usato questo fatto teorico
"Una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ ha rango massimo se e solo se è non singolare, cioè $rg(A)=n <=> det(A)!=0$"

Quindi ho semplicemente studiato la compatibilità del sistema.
Se il rango della matrice è massimo esso ammette un'unica soluzione, che è forzatamente il vettore $(0,0,0)$. Quindi se $det(A)=4k!=0 => k!=0$ il sistema ammette un'unica soluzione distinta da $(0,0,4)$.

Per $k=0$, invece, si ha $rg(A)=2$ e il sistema ammette $\infty^1$ soluzioni. Il calcolo diretto ti mostra che per $k=0$ $(0,0,4)$ è soluzione del sistema (in generale sono soluzioni $(0,0,h)$ con $h in RR$)

Ah forse ho capito, in pratica risolvendo il sistema ottengo solo $x_1$ e $x_2$ per cui $x_3$ è qualsiasi numero, tra cui 4

Sì (se $k=0$)

Perfetto grazie