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Determinare una base dell'intersezione tra due sottospazi

MessaggioInviato: 17/05/2018, 20:30
da Ishima
Salve,
dati i seguenti sottospazi di $R^3$:
$ U={(x,y,x)in R^3|y-2z=0}$
$V=<(2,1,0)(1,0,3)(3,2,3)> $
determinare una base di $ U nn V $.
Prima di tutto ho verificato che i vettori che compongono $V$ fossero linearmente indipendenti e lo sono. Ho trovato una base di $U$ ponendo $y=2z$ e dunque una base di $U$ è $<(1,0,0)(0,2,1)>$
Dopodichè ho pensato di scrivere un generico vettore $v in U nn V$ come combinazione lineare della base di $U$ e della base di $V$, queste due combinazioni lineari le eguaglio ottenendo:
$ v =alpha(1,0,0)+ beta(0,2,1) =gamma(2,1,0) +delta(1,0,3)+ epsilon(3,2,3) $
cioè:
$ v =alpha(1,0,0)+ beta(0,2,1)-gamma(2,1,0) -delta(1,0,3)-epsilon(3,2,3) =(0,0,0) $
scrivo la matrice dei coefficenti:
$ ( ( 1 , 0 , -2 , -1, -3 ),( 0 , 2 , -1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 0 , -3 , -3 ) ) $
la riduco ad una matrice a scala (Gauss) ottenendo:
$ ( ( 1 , 0 , -2 , -1 , -3 ),( 0 , 1 , 0 , -3 , -3 ),( 0 , 0 , -1 , 6 , 4 ) ) $
Il procedimento finora è corretto? Dopodichè mi basta utilizzare due parametri e raccogliere per avere la base dell'intersezione.
Grazie in anticipo!

Re: Determinare una base dell'intersezione tra due sottospazi

MessaggioInviato: 18/05/2018, 08:02
da Cantor99
Osserva che $V=RR^3$ e che quindi $U nn V=U$

Re: Determinare una base dell'intersezione tra due sottospazi

MessaggioInviato: 18/05/2018, 15:05
da Ishima
Cantor99 ha scritto:Osserva che $V=RR^3$ e che quindi $U nn V=U$

Si l'avevo notato,ma il procedimento è corretto?

Re: Determinare una base dell'intersezione tra due sottospazi

MessaggioInviato: 18/05/2018, 18:40
da Cantor99
Sì è corretto però attendo che qualcun altro confermi.
Io avrei provato così: avrei preso un generico vettore di $V$ e imposto la condizione descritta da $U$. In tal modo si vede subito che una base di $U nn V$ è proprio quella di $U$

Re: Determinare una base dell'intersezione tra due sottospazi

MessaggioInviato: 18/05/2018, 20:18
da Ishima
Perfetto,grazie tante!