Complemento ortogonale.

[galles90]

Buonasera,
Ho il seguente sottospazio

\(\displaystyle W=X \in \mathbb{R^{2,2}}: AX=XA; A=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \)

mi chiede di determinare la dimensione e una base del suo complemento ortogonale.

La prima cosa che faccio mi determino il \(\displaystyle [W]= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \ , \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \)

Ora per determinare il complemento ortogonale $W'$, devo procedere nel seguente modo ?
so che $W'$ è il sottospazio vettoriale generato dalla righe della matrice dei coefficienti del sistema lineare omogeneo che rappresenta $W$.

Dovrei quindi determinare il sistema lineare omogeno che rappresenta $W$?

[dissonance]

Un attimo solo. Che cosa intendi per \([W]\)? Una base di \(W\)? Inoltre, meglio specificare qual è il prodotto scalare su \(\mathbb R^{2,2}\) che stai considerando.

[galles90]

Ciao dissonance
per il simbolo $[W]$ intendo il sottospazio generato da $W$, invece il per il prodotto scalare, è prodotto scalare euclideo

[dissonance]

Purtroppo sei un po' fuori strada, e non ho proprio tempo da dedicare a questo topic. Spero che qualcuno possa intervenire per dare una mano.

Comunque, \(W\) è un sottospazio già di suo, non c'è niente da generare, semmai puoi **estrarre** una base. Come hai calcolato quelle due matrici lì?

Quanto al prodotto scalare, "prodotto scalare euclideo" sulle matrici suppongo signfichi
\[
A\cdot B= \sum_{i,j=1}^2 a_{ij}b_{ij}?\]
Giusto?

[galles90]

Quanto al prodotto scalare, "prodotto scalare euclideo" sulle matrici suppongo signfichi
\[ A\cdot B= \sum_{i,j=1}^2 a_{ij}b_{ij}? \]
Giusto?

Si

Poi per :

Come hai calcolato quelle due matrici lì?

ho fatto cosi:

se $AX=XA$ allora $AX-XA=O$
ho fatto il prodotto delle relativi matrici ed ho uguagliato, ottenendo un sistema del tipo:

\(\displaystyle S=\begin{cases} 3c=0 \\ 2b+3d-3a=0\end{cases} \to \begin{cases} a=\tfrac{2x}{3} + y \\ b=x \\ c=0 \\ d=y \end{cases} \)

da cui ottengo $[W]$.


Comunque grazie lo stesso

Ciao

[anto_zoolander]

Una volta determinato lo spazio $W$ per trovare l’ortogonale ti basta imporre che una generica matrice sia ortogonale a tutti i vettori di una base di $W$.

Sussiste la proposizione che un vettore appartiene all’ortogonale di uno spazio se e solo se è ortogonale a ogni vettore della sua base. Ti è nota?

[galles90]

Ciao,

So che il complemento ortogonale $X^'$ di un sottospazio $X$ di uno spazio vettoriale euclideo $(V(mathbb{R}), \sigma)$,
l'insieme definito come:

$X^'={x \in V(\mathbb{R}): x \cdot y =0 , \forall y \in X }$
ditemi dove sbaglio :
posto :
\(\displaystyle Y_1=\begin{vmatrix} 2& 3\\ 0& 0\end{vmatrix}; Y_2=\begin{vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{vmatrix}\)

\(\displaystyle X=\begin{vmatrix} a& b\\ c& d\end{vmatrix}\)

quindi \(\displaystyle X \cdot Y_1=0 \) \(\displaystyle X \cdot Y_2=0 \)

cosi anto_zoolander ?

[galles90]

Ho risolto, "penso" vi riporto il procedimento completo, cosi qual ora fosse corretto, potrebbe servire a qualcuno.

Quindi per definizione di complemento ortogonale $W^'$ di $W$, si ha:

$ W^'={x \in V(\mathbb{R}): x \cdot y =0 , \forall y \in W } $

posto :
\( \displaystyle Y_1=\begin{vmatrix} 2& 3\\ 0& 0\end{vmatrix}; Y_2=\begin{vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{vmatrix} \)

\( \displaystyle X=\begin{vmatrix} a& b\\ c& d\end{vmatrix} \)

allora
1) \( \displaystyle X \cdot Y_1=0 \)
2) \( \displaystyle X \cdot Y_2=0 \)

ricordo che la una generica matrice $A$ di ordine due ha per elementi il seguente vettore $(a,b,c,d)$, quindi:
per la 1)
$(a,b,c,d) cdot (2,3,0,0)=2a+3b$
per la 2)
$(a,b,c,d) cdot (1,0,0,1)=a+d$

determino le componenti della matrice $X$ per cui, ottengo il seguente sistema:

\(\displaystyle
S=\begin{cases} 2a+3b=0 \\ a+d=0 \end{cases} \to \begin{cases} a=-(3/2)x \\ b=x \\ c=y \\ d=-a \end{cases} \)
quindi per semplicità scelgo $b=2$ e $c=1$,

$ W^'=[v_1,v_2] $

dove \( \displaystyle v_1=\begin{vmatrix} -3& 2\\ 0& 3\end{vmatrix}, v_2=\begin{vmatrix} 0& 0\\ 1& o\end{vmatrix}\).

Va bene ?

Ciao

[anto_zoolander]

si è giusto

l'unica cosa che voglio aggiungere è che non hai bisogno di porre $b=x$ e $c=y$ a che serve?

[galles90]

Hey,

ogni tanto una gioia

comunque intendo due generici valori di $ mathbb{R}$, non l'ho specificato, mia colpa. Infatti ho scelto $b=2$ e $c=1$ per rendere i calcoli più veloci .