Matrice associata ad un'applicazione lineare, determinare vettori di un insieme

[Frink88]

Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
Si consideri l'applicazione lineare $f:RR^4→S(RR^(2,2))$ così definita: ($S(RR^(2,2))$ è l'insieme delle matrici simmetriche di ordine 2)
$f(0,0,1,−1)=((0,1),(1,2))$
$f(0,−1,1,0)=((2,0),(0,−2))$
$f(1,0,0,1)=((1,2),(2,−1))$
$f(2,1,0,0)=((−1,1),(1,1))$
1) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di $RR^4$ e $S(RR^(2,2))$
2)determinare esplicitamente i vettori dell'insieme: $H=f^(−1)(((1,2),(2,1)))$
Soluzione
1)Essendo f definita mediante le immagini di vettori di $RR^4$ ho pensato di ricavarmi le immagini dei vettori della base canonica $B=(underline{e}_1,underline{e}_3,underline{e}_3,underline{e}_4)$ del dominio sfruttando la linearità di f (per esempio $(0,0,1,−1)=underline{e}_3-underline{e}_4$) e impostando un sistema lineare nelle incognite $f(underline{e}_1),...,f(underline{e}_4)$, per poi disporle in colonna ottenendo la matrice cercata.
2)Devo quindi trovare tutti i vettori del dominio tali che la loro immagine tramite f sia la matrice simmetrica $((1,2),(2,1))$, ma non mi viene in mente come procedere.

[Frink88]

Forse ho capito:
i vettori $underline{x} in RR^4$ la cui immagine è la matrice simmetrica $((1,2),(2,1))$ sono le soluzioni dell'equazione matriciale $AX=Y$ con A=matrice associata ad f trovata al punto 1), X=matrice colonna delle componenti di $underline{x}$ rispetto alla canonica di $RR^4$, Y=matrice colonna delle componenti di $((1,2),(2,1))$ rispetto alla canonica di $S(RR^(2,2)$.

$(A|Y)=((0,-1,1,1),(-2,5,5,4),(-2,5,3,1))((1),(2),(1))$ da cui ricavo $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-6t-2,-t-1,-3t+1,2t)$ con$ t in RR$

Quindi $H={(-6t-2,-t-1,-3t+1,2t) in RR^4 | t in RR}$

E' corretto?