$\mathcal{C_{\lambda,\mu}}: \lambda (4x_0^2+3x_1^2-4x_0x_2-2x_1x_2)+ \mu (4x_0^2+5x_1^2+4x_0x_1-8x_0x_2-4x_1x_2)=0$
Individuare i centri delle coniche di $\mathcal{F}$, stabilire se sono allineati e, in caso affermativo, determinare l'equazione della retta che li contiene.
Questo è l'ultimo punto di un esercizio di classificazione delle coniche di questo fascio, ma, dato che non ho trovato esercizi svolti come riferimento, mi chiedevo se fosse il procedimento corretto:
La matrice che rappresenta la conica generica di $\mathcal{F}$ è:
$C_{\lambda,\mu}=$ $[[4\lambda + 4\mu, 2\mu, -2\lambda -4\mu ],[-2\mu, 3\lambda + 5\mu, -\lambda -2\mu],[-2\lambda -4\mu, -\lambda -2\mu, 0]]$, con $C_{00}=$ $[[3\lambda + 5\mu, -\lambda -2\mu],[-\lambda -2\mu, 0]]$
Stabilito che il fascio $\mathcal{F}$ è composto da coniche a centro, perché i valori della coppia omogenea $[\lambda, \mu]$ per cui $det(C_{00})=0$, individuando il caso delle parabole affini, sono gli stessi per cui il fascio $\mathcal{F}$ degenera. Il centro di una conica a centro è il polo di $r_{infty}$ rispetto a $\mathcal{C_{\lambda,\mu}}$.
Cerco un punto $P \in r_{infty}$, $P \notin C_{\lambda,\mu}$, per esempio $P=[0, 1, 0]$, dato che la coppia omogenea $[\lambda, \mu]$ che verifica $P$ è $[0, 0]$, che individua la conica vuota. Allora $Pol_{\mathcal{C_{\lambda,\mu}}}(P) :
(P^t)C_{\lambda,\mu}X=0$.
Svolgendo i calcoli, trovo che $Pol_{\mathcal{C_{\lambda,\mu}}}(P) : (2\lambda)x_0+(3\lambda + 5\mu)x_1+(-\lambda-2\mu)x_2 =0$ e quindi che, il luogo dei centri, è $C = [2\mu, 3\lambda + 5\mu , -\lambda - 2\mu]$.
Nel caso il procedimento sia errato, potreste dirmi quello corretto? Grazie
