basi e sistemi di generatori

Messaggioda sgabryx » 20/05/2018, 21:21

salve, sto svolgendo delle prove di esame e mi sono imbattuta in una domanda articolata del tipo:
"Se possibile fornire i seguenti esempi, altrimenti motivarne la non esistenza:
(a) Una base di R4 costituita da 3 vettori;
(b) Una base di R4 costituita da 4 vettori;
(c) Una base di R4 costituita da 5 vettori;
(d) Un sistema di generatori di R4 costituita da 3 vettori;
(e) Un sistema di generatori di R4 costituita da 4 vettori;
(f) Un sistema di generatori di R4 costituita da 5 vettori;
(g) Un sistema di vettori indipendenti di R4 costituita da 3 vettori;
(h) Un sistema di vettori indipendenti di R4 costituita da 4 vettori;
(i) Un sistema di vettori indipendenti di R4 costituita da 5 vettori."

la differenza teorica tra sistemi di generatori, basi e lineare indipendenza la comprendo. Ho però ancora qualche dubbio.
nel caso della base sicura esiste solo di 4 vettori, per definizione della stessa.
per il sistema di generatori invece? esiste un sistema di generatori di 5 vettori?
di tre immagino di no, ma neanche sono sicura.
per il sistema indipendente immagino che non esiste un insieme di 5 vettori ragionando col rango, che è massimo 4 quindi sono al massimo 4 i vettori indipendenti. invece 3?
esiste un ragionamento da fare?
grazie per l'attenzione!
L'unico gesto esatto è la ripetizione.
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Re: basi e sistemi di generatori

Messaggioda gugo82 » 21/05/2018, 00:02

Ai miei tempi si dimostravano un paio di teoremini del genere:
Siano $mathbb(V)$ uno spazio vettoriale finitamente generabile e $B subseteq mathbb(V)$.
Sono equivalenti le seguenti proprietà:

  1. $B$ è un sistema di generatori indipendenti di $mathbb(V)$;

  2. $B$ è un sistema minimale di generatori di $mathbb(V)$, nel senso che ogni sottoinsieme proprio non vuoto di $B$ non genera tutto $mathbb(V)$;

  3. $B$ è una sistema indipendente massimale, nel senso che aggiungendo a $B$ un qualsiasi vettore $v in mathbb(V) \setminus B$ si ottiene un sistema dipendente.

Se si verifica una delle precedenti tre (e quindi si verificano tutte), allora $B$ si chiama base di $mathbb(V)$.


Sia $mathbb(V)$ uno spazio vettoriale finitamente generabile.
Le basi di $mathbb(V)$ sono equipotenti, dunque esse hanno tutte lo stesso numero di elementi.

Tale numero si chiama dimensione di $mathbb(V)$ e si denota con $"dim" mathbb(V)$.


Questi teoremini ti dicono che:

  • ogni base di $mathbb(V)$ ha esattamente $"dim" mathbb(V)$ elementi, cosicché non esistono basi di $RR^4$ fatte da $3$ o $5$ vettori, ma solo da $4$ vettori;

  • i sistemi di vettori (indipendenti o no) con $k<"dim" mathbb(V)$ elementi non possono generare tutto $mathbb(V)$, ergo ad esempio $RR^4$ non può essere generato da un sistema di soli $3$ vettori;

  • dato che i sistemi minimali di generatori sono le basi di $mathbb(V)$, tutti gli altri possibili sistemi di generatori hanno necessariamente $k >= "dim" mathbb(V)$ elementi; quindi $RR^4$ contiene sistemi di generatori di $5$ elementi;

  • analogamente, ogni sistema con $k>"dim" mathbb(V)$ vettori non può essere indipendente; quindi in $RR^4$ non esistono sistemi indipendenti con $5$ vettori;

  • poiché le basi sono sistemi indipendenti massimali, tutti i sistemi indipendenti hanno $k<="dim" mathbb(V)$ elementi, dunque $RR^4$ contiene sistemi indipendenti di $3$ vettori.
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Re: basi e sistemi di generatori

Messaggioda sgabryx » 21/05/2018, 17:03

Grazie mille gugo82. Hai risolto un dubbio che avevo da tempo dandomi anche un modo generale per così dire di risolvere esercizi del genere. Mi resta solo una cosa da chiedere. Come si fa a verificare che il sistema di vettori considerato sia un sistema di generatori?
L'unico gesto esatto è la ripetizione.
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Re: basi e sistemi di generatori

Messaggioda gugo82 » 22/05/2018, 00:09

Se i vettori sono “pochi”, non generano lo spazio.
Se sono “tanti”, una possibilità c’è... Per stabilire se $k>=text(dim) mathbb(V)$ vettori generano $mathbb(V)$, ordinali come colonne di una matrice e calcolane il rango $r$: se $r=text(dim) mathbb(V)$, allora i vettori generano lo spazio, altrimenti no.
Se ci pensi questa è un’applicazione del Teorema di Rouché & Capelli, perché la condizione $r=text(dim) mathbb(V)$ garantisce che ogni vettore $v in mathbb(V)$ si può scrivere un unico modo come combinazione lineare dei vettori del sistema.
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Re: basi e sistemi di generatori

Messaggioda sgabryx » 22/05/2018, 08:57

Scusami se disturbo ancora ma vorrei essere proprio certa.
quindi se considero:
$ S=(2,2,0,0),(0,3,0,3),(0,0,1,0),(0,0,0,5) $ e poi
$ S'=(2,2,0,0),(0,3,0,3),(0,0,1,0),(0,0,0,5),(0,0,4,0) $
posso dire che sono sistemi di generatori di R4 rispettivamente di 4 e di 5 vettori? (ho calcolato il rango e ad ambedue sistemi esce 4 anche ad occhio solamente)
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Re: basi e sistemi di generatori

Messaggioda gugo82 » 22/05/2018, 13:02

Sì, certo.
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Re: basi e sistemi di generatori

Messaggioda sgabryx » 22/05/2018, 13:06

Perfetto, allora posso dire con certezza di aver capito tutto.
Grazie mille, mi hai aiutata moltissimo a risolvere un dubbio enorme. Grazie infinite
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