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Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 14/06/2018, 21:26
da Keanu88
Ciao a tutti...
sono alle prese con questo esercizio da ormai 15 giorni e non riesco a venirne a capo

Sia $A$ una matrice quadrata con un autovettore $\nu$ relativo all’autovalore $\lambda$ = 2.
a) $\nu$ è anche autovettore della matrice $A^3$
b) $\nu$ è autovettore della matrice M = $A^3$ − $3*A$
c) $\nu$ è autovettore della matrice $A^2$ corrispondente all’autovalore $\lambda$ =$sqrt(2)$
d) $\nu$ è autovettore della matrice M = $A$ + $2*I$ corrispondente all’autovalore $\lambda$ = $2$

Le risposte corrette date dal mio prof. sono:
a) FALSA
b) VERA
c) VERA
d) FALSA

Ho provato e riprovato ma a me risultano VERA, VERA, FALSA, FALSA...dov'è che sbaglio?

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 14/06/2018, 22:14
da Bokonon
Non sbagli...se il problema è quello.

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 14/06/2018, 22:18
da marcorossi94
a)
$A^3*v=A^2*A*v=A^2*2v=2*A*A*v=2*A*2v=4*A*v=4*2v=8v$
Non capisco perché dovrebbe essere falsa

In generale ad occhio mi verrebbe da dire che se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 08:32
da Keanu88
marcorossi94 ha scritto:a)
$A^3*v=A^2*A*v=A^2*2v=2*A*A*v=2*A*2v=4*A*v=4*2v=8v$
Non capisco perché dovrebbe essere falsa

In generale ad occhio mi verrebbe da dire che se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$


E' esattamente come ho ragionato io...invece per la 4 c) ho usato una matrice triangolare per trovare almeno un caso in cui non è soddisfatta per cui deve essere FALSA...questa è la matrice triangolare che ho usato:
$A$=$((1,3),(0,2))$ ...gli autovalori sono $1$ e $2$...a $2$ corrisponde l'autovettore $v$
$A^2$=$((1,9),(0,4))$ ...gli autovalori sono $1$ e $4$...a $4$ corrisponde l'autovettore $v$...l'autovalore $sqrt(2)$ non c'è in questo caso, per cui la 4 c) non è VERA sempre e quindi è FALSA.

Ma ovviamente si potrebbe discuterne come hai fatto tu, ragionando per tutte le matrici $A^2$ per vedere che, detto $v$ l'autovettore di $A$ corrispondente all'autovalore $\lambda$, l'autovalore di una matrice $A^2$ corrispondente allo stesso autovettore $v$ è $\lambda^2$ e non $sqrt(λ)$

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 09:04
da Magma
marcorossi94 ha scritto: se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Ammesso che $A in M_n (RR)$ sia diagonalizzabile, cioè esiste $D:=B^(-1)AB ,qquad B in GL_n (RR)$; quindi

$A=BDB^(-1) rArr A^k=BD^k B^(-1) $

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 11:37
da Keanu88
Magma ha scritto:
marcorossi94 ha scritto: se $v$ è autovettore secondo $\lambda$ di $A$; allora $v$ è autovettore secondo $\lambda ^n$ di $A^n$

Ammesso che $A in M_n (RR)$ sia diagonalizzabile:

$A=BDB^(-1) rArr A^k=BD^k B^(-1), qquad B in GL_n (RR)$

Questo cosa implica?

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 11:56
da Magma
Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.


P.S. ho modificato il post precedente :roll:

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 13:01
da Bokonon
Magma ha scritto:Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.

Falso

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 13:15
da Magma
Bokonon ha scritto:Falso

Nutella! :-D

Re: Esercizio su autovettori

MessaggioInviato: 15/06/2018, 13:43
da Keanu88
Magma ha scritto:Significa che l'osservazione di marcorossi94 è valida in via generale solo per matrici diagonalizzabili, cioè per matrici simili a matrici diagonali.


P.S. ho modificato il post precedente :roll:

Ma il fatto che sia diagonalizzabile o meno non influisce sulla definizione di autovalore e quindi su quello che ha detto marcorossi94...o sbaglio?