Trovare una base

[MissFoxy]

Il testo dell'esercizio è:

Trovare un sottoinsieme di $u1, u2, u3, u4 $ che sia base per $ W =<u1, u2, u3, u4> $ dove:
$ u1 =( 1, -2, 1, 3, -1)$
$ u2 =(-2, 4, -2, -6, 2)$
$ u3 =(1, -3, 1, 2, 1)$
$ u4 =(3, -7, 3, 8, -1) $

Svolgimento:
Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$, quindi, anche se le colonne sono 5, il massimo che otterrò sarà di dimensione $<= 4 $
$ [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( -2 , 4 , -2 , -6 , 2 ),( 1 , -3 , 1 , 2 , 1 ),( 3 , -7 , 3 , 8 , -1 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

Ne deduco che $u1$ e $u3$ sono linearmente indipendenti e che $u2$ e $u4$ sono combinazioni degli altri vettori.
Il problema è, come interpreto questo risultato? È giusto dire che $u1$ e $u3$ sono basi?

[Magma]

Se con $< cdot >$ intendi l'insieme dei generatori (o Span) allora, per il lemma di Steinitz, una base $mathcalB$ non può che essere

$mathcalB sube {u_1,u_2,u_3,u_4}$.

determinabile scartando tutti i vettori che sono C. L. degli altri, cioè considerando solo i vettori che sono l.i. .

[Bokonon]

Il testo dell'esercizio è:

Trovare un sottoinsieme di $u1, u2, u3, u4 $ che sia base per $ W =<u1, u2, u3, u4> $ dove:
$ u1 =( 1, -2, 1, 3, -1)$
$ u2 =(-2, 4, -2, -6, 2)$
$ u3 =(1, -3, 1, 2, 1)$
$ u4 =(3, -7, 3, 8, -1) $

Svolgimento:
Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$, quindi, anche se le colonne sono 5, il massimo che otterrò sarà di dimensione $<= 4 $
$ [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( -2 , 4 , -2 , -6 , 2 ),( 1 , -3 , 1 , 2 , 1 ),( 3 , -7 , 3 , 8 , -1 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

Ne deduco che $u1$ e $u3$ sono linearmente indipendenti e che $u2$ e $u4$ sono combinazioni degli altri vettori.
Il problema è, come interpreto questo risultato? È giusto dire che $u1$ e $u3$ sono basi?

Ciao, i vettori hanno 5 componenti quindi sono in $R^5$
Se li metti per riga e poi derivi una base di vettori che hanno 4 componenti, allora qualcosa non va
Scrivi la matrice mettendoli in colonna e poi lavora con gauss-jordan per trovare la matrice a gradini.
A quel punto, vedrai chiaramente chi è combinazione lineare di chi e potrai tornare alla matrice originale e segnarti i corrispondenti vettori indipendenti che formeranno una base per un sottospazio di $R^5$

[Magma]

Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$

i vettori hanno 5 componenti quindi sono in $RR^5$

Giusto, non ci avevo fatto caso.

Se li metti per riga e poi derivi una base di vettori che hanno 4 componenti, allora qualcosa non va

Questa non l'ho capita: mettendo i vettori in riga si fa la riduzione per righe e il numero di righe non nulle equivale al numero di vettori indipendenti: $u_1, u_3$ sono l.i. e costituiscono una base per $W$.

[Bokonon]

Questa non l'ho capita: mettendo i vettori in riga si fa la riduzione per righe e il numero di righe non nulle equivale al numero di vettori indipendenti: $u_1, u_3$ sono l.i. e costituiscono una base per $W$.

Come potrebbero dei vettori di $R^4$ essere una base di un sottospazio di $R^5$?
Esempio: se ti do due vettori indipendenti di $R^3$ non formano di certo una base di $R^3$, ma sono una base per un sottospazio di $R^3$ di dimensione 2, ovvero un piano. Ma comunque restano in $R^3$. Non è che se è un piano in $R^3$ allora lo "degrado" automaticamente in $R^2$.
Per scopi pratici potrei farlo. Mi basterebbe traslare quel piano fino all'origine e ruotarlo finchè non è perfettamente parallelo a due assi....MA nella nuova base. Poi potrei eliminare la terza componente e trattarlo come $R^2$.
E nella sostanza è esattamente lo scopo per cui usano l'algebra lineare nel mondo pratico, ovvero trovare trasformazioni che rendano l'input molto più chiaro e manipolabile. Le scomposizioni servono a questo.
Per esempio la SVD non è altro che quella che in gergo statistico si chiama analisi delle componenti principali e credimi viene applicata anche in questo instante analizzando i nostri dati che riversiamo in rete per catalogarci e poi vendere a terzi l'infomazione su come agire sui differenti gruppi target. E' semplice marketing applicato.
La SVD può anche esserre usata ad esempio per comprimere le immagini o uno streaming di un video...anche se come trasformazione è troppo costosa in tempi di calcolo e quindi usano altre "basi" più economiche ma comunque efficienti.
E' tutto qua in a nutshell (come direbbero gli americani)

[Magma]

Come potrebbero dei vettori di $R^4$ essere una base di un sottospazio di $R^5$?

Scusami ma non ti capisco.
$u_1$ e $u_2$ appartengono a $RR^5$. Non riesco a capire quali siano i vettori di $RR^4$.

Intravedo che l'SVD sia una sorta di isomorfismo.

[Bokonon]

$u_1$ e $u_2$ appartengono a $RR^5$. Non riesco a capire quali siano i vettori di $RR^4$.

Ok , allora una base per un sottospazio di $R^5$ è formata da due vettori in $R^4$
Come vuoi magma..adios

[Magma]

$ u_1 $ e $ u_2 $ appartengono a $ RR^5 $. Non riesco a capire quali siano i vettori di $ RR^4 $.

Ok , allora una base per un sottospazio di $ R^5 $ è formata da due vettori in $ R^4 $

$ u_1=(( 1),( -2), (1), (3),( -1)) , u_3= ((1), (-3), (1), (2),( 1)) in RR^5$

Per una volta che potevamo andare d'accordo

Dal numero di vettori deduco che siamo in $ R^4 $

i vettori hanno 5 componenti quindi sono in $ RR^5 $

Giusto, non ci avevo fatto caso.

[Bokonon]

Oh vediamo se ho capito. Io mi sbatto a correggere un errore per cui ha messo i vettori per riga e poi non ha scelto i vettori per riga e tu invece parli di metterli per riga e secglierli per riga quando ovviamnete non ha fatto così.
Io provo a dare un metodo/ordine pressochè unanimamente accettato di mettere i vettori per colonna e sceglierli dalle colonne e tu stai qua a rompere i coglioni che si può fare anche per riga. Ho messo a fuoco la cosa?
Se per te è un gioco aiutare il prossimo dovresti davvero levarti dalle palle...e ne parlerò con i moderatori.

[Magma]

Oh vediamo se ho capito. Io mi sbatto a correggere un errore per cui ha messo i vettori per riga e poi non ha scelto i vettori per riga e tu invece parli di metterli per riga e secglierli per riga quando ovviamnete non ha fatto così.

L'OP ha messo i vettori in riga, ridotto per righe e scelto le righe non nulle:

Ne deduco che $ u1 $ e $ u3 $ sono linearmente indipendenti È giusto dire che $ u1 $ e $ u3 $ sono basi?

Io provo a dare un metodo/ordine pressochè unanimamente accettato di mettere i vettori per colonna e sceglierli dalle colonne e tu stai qua a rompere i coglioni che si può fare anche per riga. Ho messo a fuoco la cosa?
Se per te è un gioco aiutare il prossimo dovresti davvero levarti dalle palle...e ne parlerò con i moderatori.

Dovrebbe moderare il linguaggio.