Intersezione tra nucleo ed immagine di un applicazione lineare

[dondolando]

Ciao a tutti! Ho un esercizio d'esame che penso di aver risolto, ma non ne sono sicuro quindi un vostro parere sarebbe molto d'aiuto.
Sia $F$ un campo consideriamo l'app. lineare $T: F^3rarrF^3$ che nella base standard è data da:
$( ( 6 , -1 , 4 ),( -1 , 5 , -1 ),( 1 , -1 , 3 ) ) $

Scrivere, se esiste, un vettore non nullo che appartiene a $Ker T nn Imm T$ rispettivamente con $F=RR$ ed $F=ZZ_3$
Io ho svolto l'esercizio in questa maniera:
$RR$ - Ho calcolato $Ker T={O/}$ (riducendo per righe la matrice associata al sistema omogeneo ottengo $3$ pivot), ciò significa che l'immagine è lo span delle tre colonne della matrice, ma intersecando $Imm T$ e ${O/}$ ottengo ovviamente ${O/}$. Da cui non esiste vettore appartenente all'intersezione diverso da quello banale.
$ZZ_3$ - La matrice riscritta con i coefficienti in $ZZ_3$ è: $( (0, 0, 0),( 1, 0, 1),( 4, -1, -2) )$.
Facendo le mosse di riga ottengo che $Ker T$ è l'insieme delle soluzioni del sistema: ${(x_2=x_3;),(x_1=x_3;):}$.
I due pivot che ho ottenuto riducendo la matrice a scala mi segnalano che le prime due colonne della matrice sono una base di $Imm T$. Per trovare il sistema che genera $Imm T$ gli affianco un generico vettore e riduco a scala la matrice associata al sistema omogeneo:
$((0,1,x_1),(-1,-1,x_2),(1,0,x_3)) rarr ((-1,-1,x_2),(0,1,x_1),(0,0,x_3+x_2+x_1))$
Affinchè il sistema ammetta soluzione deve succedere che $rrMatriceComp.=rrMatriceIncomp.$ quindi impongo $x_1+x_2+x_3=0$ che è l'equazione che genera $Imm T$.
Unisco i due sistemi generanti ottenendo: ${(x_2=x_3),(x_1=x_3;),(x_1+x_2+x_3=0;):}$ il quale da come soluzione $( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $.
Da questo deduco che l'intersezione non contiene nessun vettore diverso da quello nullo.

Il discorso fila? E' giusto?
Grazie mille in anticipo

P.S. Ho cercato di riassumere al massimo escludendo parti (a mio avviso) che avrebbero distolto dal significato generale del discorso ma se può aiutare sono disponibile a postare tutti i calcoli.

Moderatore: Martino

Spostato in Geometria e Algebra Lineare.

[Martino]

Nel caso di $RR$ ok, nel caso di $ZZ_3$ il nucleo è dato da $x_1 = x_2 = x_3$ ok, ma dopo non capisco cosa hai fatto, semplicemente domandati se il vettore (1,1,1) (che genera il nucleo) sta nell'immagine di T oppure no. Suggerimento: guarda la seconda colonna della matrice originale.

I due vettori che indichi non generano l'immagine. Non so come li hai ottenuti. Dici "le prime due colonne della matrice sono una base di ImmT", le prime due colonne di quale matrice? Inoltre sopra dici "la matrice riscritta con i coefficienti in $ZZ_3$ è" e poi scrivi una matrice che non è la matrice originale e non è nemmeno ridotta a scala (le matrici ridotte a scala non sono fatte così), inoltre è rischioso ridurre modulo 3 la matrice ridotta nei reali perché potresti aver diviso per $3$ nella riduzione nei reali (cosa che non ti è concessa in $ZZ_3$). Inoltre quando riduci perché lasci 4 e non scrivi 1? E perché lasci -1 e non scrivi 2? E' giusto lo stesso, è solo che in genere le classi canoniche modulo 3 sono 0, 1 e 2.

[dondolando]

scrivi una matrice che non è la matrice originale e non è nemmeno ridotta a scala

Devo essermi confuso nella trascrizione della matrice in $ZZ_3$, quella non c'entra proprio niente scusami.

E perché lasci -1 e non scrivi 2?

Quella che volevo scrivere era $((0,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,0))$. Ho lasciato $-1$ anzichè due perchè pensavo potessero venirmi più comode le mosse di riga (ed effettivamente sembra essere stato così).

inoltre è rischioso ridurre modulo 3 la matrice ridotta nei reali perché potresti aver diviso per 3 nella riduzione nei reali (cosa che non ti è concessa in Z3)

Non ho capito. Ti riferisci alle mosse di riga? Sono stato attento a non moltiplicare/dividere per tre. Ti riporto le mosse di seguito per sicurezza:
$((0,-1,1),(-1,2,-1),(1,-1,0)) rarr 3^a riga=3^a+2^a rarr ((0,-1,-1),(-1,2,-1),(0,1,-1)) rarr 3^a riga=3^a+1^a rarr ((-1,2,-1),(0,-1,1),(0,0,0))$

I due pivot che ho ottenuto riducendo la matrice a scala mi segnalano che le prime due colonne della matrice sono una base di ImmT

Le due colonne in questione sarebbero quelle della matrice che in questo messaggio ho corretto. Il ragionamento che ho fatto per ricavare da qui una base dell'immagine è che se ottengo due pivot in corrispondenza della prima e della seconda colonna allora significa che le due colonne della matrice iniziale non ridotta a scala sono linearmente indipendenti, poichè se creo la matrice $A'=((0,-1),(-1,2),(1,-1))$ e faccio le stesse mosse di riga fatte sulla matrice iniziale ottengo sempre due pivot. (http://people.dm.unipi.it/~gaiffi/MDAL2 ... ziario.pdf usa questa tecnica nell'es. 4.5)

ma dopo non capisco cosa hai fatto, semplicemente domandati se il vettore (1,1,1) (che genera il nucleo) sta nell'immagine di T oppure no.

Hai ragione avrei potuto procedere così e sarebbe anche stato più facile. Praticamente suggerisci di risolvere il sistema (irrisolubile) associato alla matrice: $A'*((alpha),(beta))=((1),(1),(1))$ ?
Per quanto riguarda il mio metodo, è quello che ci ha insegnato il nostro prof. per trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio a partire da un insieme di vettori che lo genera. L'idea è quella che una volta trovate le equazioni cartesiane a ciascun sottospazio, per ricavare l'intersezione basta mettere a sistema tutte le equazioni ottenute e vedere cosa si ottiene.
Non ho capito se ho generato incertezza sul mio metodo per trovare l'equazione cartesiana di $Imm T$ o sul come l'ho usata per trovare l'intersezione.

[Martino]

Il vettore (1,1,1) appartiene all'intersezione tra nucleo e immagine (nel caso di $ZZ_3$). E' uguale alla seconda colonna della matrice originale cambiata di segno (quando ridotta modulo 3).

[dondolando]

Si hai ragione. Anche intuitivamente il discorso torna, cioè l'intersezione è formata da tre elementi congrui tra loro ($x_1=x_2=x_3 mod 3$) e come ci si aspetterebbe la loro somma è sempre congrua a $0 mod 3$ ($x_1+x_2+x_3=0$).
Ho capito il mio errore "operativo". Non era il metodo che usavo, seppur ridondante e per niente necessario in questo caso, ero io che mettendo a sistema le due equazioni ottenevo $3x_3=0$ e da lì (scordandomi di essere nel campo delle classi di resto modulo 3), ho ricavato $x_3=0$, che è una deduzione sbagliata.
Grazie del tuo aiuto