Consideriamo la funzione
$f: RR^3-> RR^3$ definita ponendo
$f(v)=Av=((0,0,0),(0,-2,0),(1,-1,1))((x),(y),(z)), qquad AA v in RR^3$
Consideriamo una base del dominio $mathcalA={v_1,v_2,v_3}={((1),(0),(3)),((1),(0),(0)), ((0),(-1),(0))}$ e a codominio prendiamo la base canonica $mathcalE$. Vogliamo scrivere $M_(EA)(f)$.
Cerchiamo l'immagine di $v_1$ e la scriviamo come C.L. dei vettori di $mathcalE$; il che equivale a determinare le incognite $alpha beta, gamma$ di un sistema lineare:
$alpha ((1),(0),(0))+beta ((0),(1),(0))+gamma ((0),(0),(1))=f((1),(0),(3))$
Determiante tali incognite, le disponiamo in colonna ottenendo la matrice:
$M_(EA)(f)=((alpha,?,?),(beta,?,?),(gamma,?,?))$
Riassumendo: la matrice associata $M_(EA)(f)$ ha per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalA$ rispetto ai vettori della base $E$.