Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio dove faccio fatica ad interpretarne i risultati
Nello spazio vettoriale $K^4$, considerare i vettori:
$u_1=((1),(-1),(1),(1)); u_2=((0),(0),(1),(0)); u_3=((0),(alpha),(-1),(0)); w=((k^2),(0),(0),(-1))$
con $k, alpha in K$.
1) Nel caso $K=RR$, determinare gli eventuali valori di $alpha$ e $k$ per cui $w in <u_1,u_2,u_3>$.
2) Nel caso $K=CC$, determinare gli eventuali valori di $alpha$ e $k$ per cui $w in <u_1,u_2,u_3>$.
Verifico per quali valori di $alpha$ i vettori $u_1, u_2, u_3$ sonio linearmente indipendenti:
$((1,0,0),(-1,0,alpha),(1,1,-1),(1,0,0)) rArr ((1,0,0),(0,1,-1),(0,0,alpha),(0,0,0))$
Per $alpha=0$ solo $u_1$ e $u_2$ sono linearmente indipendenti.
Per $alpha!= 0$ i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Nel caso $alpha!= 0$
$det((1,0,0,k^2),(-1,0,alpha,0),(1,1,-1,0),(1,0,0,-1))=alpha k^2+alpha=0$
e se considero $K=RR$ ottengo che $w$ non appartiene al sistema di generatori.
al contrario se $K=CC$, ottengo $k=i$ e quindi cerco per quali $a,b,c$ posso scrivere $w$ combinazione lineare di $u_1, u_2, u_3$:
$((1,0,0,-1),(-1,0,alpha,0),(1,1,-1,0),(1,0,0,-1)) rArr ((1,0,0,-1),(0,1,-1,1),(0,0,alpha,-1),(0,0,0,0))$
da cui, mettendo a sistema, ottengo $a=-1, b=(alpha+1)/alpha, c=-1/alpha$ e quindi $w$ appartiene al sistema di generatori dato.
nel caso $alpha=0$:
$det((1,0,0,k^2),(-1,0,0,0),(1,1,-1,0),(1,0,0,-1))=0$
e qui mi perdo via un po'...
Cosa potete dirmi?