Retta di minima distanza nello spazio

[Jaeger90]

Salve, sto provando a risolvere un esercizio ma non ne vengo a capo..

Abbiamo un sistema di riferimento cartesiano $ RC(O,i,j,k) $ , abbiamo due rette
$r:\{(x=7+5t),(y=-t),(z=t):}$ $s:\{(x=t'),(y=-3+3t'),(z=2+t'):}$

1. Verificare che r e s siano sghembe
2. Determinare la retta di minima distanza tra r e s
3. Determinare la sfera di raggio minimo tangente sia a r che a s (Questo lo provo da solo in seguito..)

-1.
I parametri direttori sono:
$ r: (l,m,n) ~ (5,-1,1) $
$ s: (l',m',n') ~ (1,3,1) $

Non essendo proporzionali allora descrivono due rette non parallele
Calcolo le eq. cartesiane di r ed s.
$ r: x-7-6z=y=0 $
$ s: y+5-2x=z=0 $

Facendo l'intersezione ho una soluzione impossibile, quindi non ho punti in comune. Per cui le rette son sghembe.

-2.
Ogni punto $ R $ di $ r $ è $ R=(7+5t,-t,t) $
Ogni punto $ S $ di $ s $ è $ R=(t',-3+t',2+t') $

I parametri direttori di tutti i vettori $ RS $ son dati da
$ S-R = (t'-7-5t, -3+t'+t, 2+t'-t) $
Essendo la retta di minima distanza nello spazio perpendicolare alle due rette per cui passa, allora il prodotto scalare tra i parametri direttori deve essere nullo
$ { ( (t'-7-5t, -3+t'+t, 2+t'-t)*(5,-1,1)=0 \ ),( (t'-7-5t, -3+t'+t, 2+t'-t)*(1,3,1)=0 ):} $
$ { ( t'=(48/5) \ ),( t=(-2/3) ):} $
Per cui sostituendo le variabili, abbiamo i punti precisi
$ R=(11/3,2/3,-2/3) $
$ S=(48/5,33/5,58/5) $

A questo punto provo su geogebra.. e i punti non appartengono nemmeno alle rette precedentevente trovate..
Cosa sbaglio?

[Bokonon]

Abbiamo un sistema di riferimento cartesiano $ RC(O,i,j,k) $ , abbiamo due rette
$r:\{(x=7+5t),(y=-t),(z=t):}$ $s:\{(x=t'),(y=-3+3t'),(z=2+t'):}$

Se vuoi ascoltare il mio consiglio, scrivi le rette così:
$ r: { (( x ),( y ),( z ))=t(( 5 ),( -1 ),( 1 ))+(( 7 ),( 0 ),( 0 )):} $
Questa è una scrittura analoga della retta r a quella che hai usato. $t(( 5 ),( -1 ),( 1 ))$ è la retta parallela ad r ma passante per l'origine. $(( 7 ),( 0 ),( 0 ))$ è la traslazione della retta dall'origine fino al punto in questione, ovvero +7 lungo l'asse X.
Dovresti vedere meglio dove hai sbagliato.

[Jaeger90]

Abbiamo un sistema di riferimento cartesiano $ RC(O,i,j,k) $ , abbiamo due rette
$r:\{(x=7+5t),(y=-t),(z=t):}$ $s:\{(x=t'),(y=-3+3t'),(z=2+t'):}$

Se vuoi ascoltare il mio consiglio, scrivi le rette così:
$ r: { (( x ),( y ),( z ))=t(( 5 ),( -1 ),( 1 ))+(( 7 ),( 0 ),( 0 )):} $
Questa è una scrittura analoga della retta r a quella che hai usato. $t(( 5 ),( -1 ),( 1 ))$ è la retta parallela ad r ma passante per l'origine. $(( 7 ),( 0 ),( 0 ))$ è la traslazione della retta dall'origine fino al punto in questione, ovvero +7 lungo l'asse X.
Dovresti vedere meglio dove hai sbagliato.

Si, questo lo comprendo, tuttavia non vedo ancora l'errore.

[Bokonon]

Ogni punto $ R $ di $ r $ è $ R=(7+5t,-t,t) $
Ogni punto $ S $ di $ s $ è $ R=(t',-3+t',2+t') $
Essendo la retta di minima distanza nello spazio perpendicolare alle due rette per cui passa, allora il prodotto scalare tra i parametri direttori deve essere nullo

E fin qua va bene
Infatti la retta che cerchi passa per i due i due punti (2,1,-1) e (1,0,3) appartenenti rispettivamente ad r e s
Il resto che hai scritto non ha senso..devi appunto trovare i parametri t e t' usando due condizioni.
Le direttrice della retta che cerchi deve essere perpendicolare alle direttrici delle due rette.
E questa retta deve intersecare le due rette.

[Jaeger90]

Ogni punto $ R $ di $ r $ è $ R=(7+5t,-t,t) $
Ogni punto $ S $ di $ s $ è $ R=(t',-3+t',2+t') $
Essendo la retta di minima distanza nello spazio perpendicolare alle due rette per cui passa, allora il prodotto scalare tra i parametri direttori deve essere nullo

E fin qua va bene
Infatti la retta che cerchi passa per i due i due punti (2,1,-1) e (1,0,3) appartenenti rispettivamente ad r e s
Il resto che hai scritto non ha senso..devi appunto trovare i parametri t e t' usando due condizioni.
Le direttrice della retta che cerchi deve essere perpendicolare alle direttrici delle due rette.
E questa retta deve intersecare le due rette.

Da dove escono (2,1,-1) e (1,0,3)?
Inoltre perchè non ha senso? Se ho i due punti generici sottraendoli dovrei avere i paramentri direttori della rette che ci passano attraverso..
Cosa dovrei scrivere precisamente? Son giorni che sto davanti a questo esercizio e ho poco tempo prima dell'esame.. quindi vorrei risovlerlo e capirlo il prima possibile.
Grazie dell'aiuto.

[Bokonon]

Ti ho dato tutti gli elementi.
Prendi le due direttrici e fanne il prodotto vettoriale e otterrai il vettore (-1,-1,4) perpendicolare ad entrambe.
La differenze fra il punto cercato di s e quello di r dovrà quindi dare appunto (-1,-1,4).
Quindi verifichi appunto che il sistema:
$ { ( t'-7-5t=-1 ),( -3+3t'+t=-1 ),( 2+t'-t=4 ):} $
ha soluzione per t=1 e t'=-1....e ottieni i punti di cui sopra.

[Bokonon]

Volendo...se vuoi provare a risolvere il problema usando il calcolo (cosa che non ho provato ma deve funzionare), prendi la distanza generica fra due punti (al quadrato per comodità) e imponi che sia minima. Ovvero imponi che le derivate parziali siano uguali a zero. E poi risolvi il sistema.

[Jaeger90]

Ti ho dato tutti gli elementi.
Prendi le due direttrici e fanne il prodotto vettoriale e otterrai il vettore (-1,-1,4) perpendicolare ad entrambe.
La differenze fra il punto cercato di s e quello di r dovrà quindi dare appunto (-1,-1,4).
Quindi verifichi appunto che il sistema:
$ { ( t'-7-5t=-1 ),( -3+3t'+t=-1 ),( 2+t'-t=4 ):} $
ha soluzione per t=1 e t'=-1....e ottieni i punti di cui sopra.

Cavolo, avevo completamente dimenticato l'esistenza e la funzionalità del prodotto vettoriale!
Ora ho provato sia utilizzando la teoria del prodotto scalare tra vettori perpendicolari che quella del prodotto vettoriale tra vettori per avere un vettore perpendicolare a 2 vettori non paralleli nello spazio... ed esce con entrambi i modi.
Provo a fare il terzo punto, per ora è tutto, grazie mille.