Sottospazio di polinomio

[Djot]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio, sia:

Sia W {p(x) ∈ R3[x]|p(2) = 0} .
Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W `e
un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini la
dimensione.

Sapete spiegarmi il procedimento? Grazie in anticipo!

[Magma]

Il procedimento lo dovresti già conoscere.

[Djot]

Ho delle incertezze, per essere un sottospazio deve contenere il vettore nullo, essere chiuso rispetto la somma ed essere chiuso rispetto il prodotto;
Il vettore nullo lo contiene per a=b=c=d=0, che verifica le condizioni dell'insieme, infatti:

0(-2)^3 + 0(-2)^2 + 0(-2) + 0 è uguale a zero,

E' giusto come ragionamento?

[Magma]

Perché hai considerato $x=-2$?

[Djot]

Ho sbagliato a scrivere, nelle condizioni dell'insieme deve valere che p(-2) >= 0

[Magma]

Dato l'insieme

$W= {p(x) ∈ RR[x]_(<=3) : qquad p(-2) = 0} $

Un generico vettore di $RR[x]_(<=3)$ è

$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3, qquad a_i in RR$

Affinché $p(x) in W$

$p(-2)=a_0+a_1(-2)+a_2(-2)^2+a_3(-2)^3=0$

$ hArr qquad a_0-2 a_1+4a_2-8a_3=0, qquad a_i in RR$

Considerato che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo costituiscono un sottospazio, allora $W sub RR[x]_(<=3)$.

Inoltre hai $1$ equazione in $4$ incognite: grazie a Kronecker-Rouché-Capelli puoi sapere a priori quante soluzioni sono ammesse¹; ovvero può dedurre $dim(W)$ senza risolvere effettivamente l'equazione. 3


Les jeux sont faits!

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Note

1. Pertanto, nel caso in cui non si trovino $4-1$ soluzioni significa che i calcoli sono sbagliati. ↑

[Djot]

Scusami ma ho sbagliato a scrivere all'inizio, le condizioni sono che:

P(-2) >= 0

[Magma]

le condizioni sono che:

$p(-2) >= 0$

Con questa condizione avresti dovuto essere in grado di risponderti da solo; semplifichiamo:

${(x,y) in RR^2 : qquad x+y>=0}$

può essere sottospazio secondo te?

[Djot]

Sinceramente è quello il mio problema non dovrei studiare i valori di x e y?

[Magma]

Sinceramente è quello il mio problema non dovrei studiare i valori di x e y?

Se hai tempo da perdere sì!

Piuttosto, quali sono le proprietà le condizioni affinché un sottoinsieme di uno spazio vettoriale possa definirsi sottospazio vettoriale?