Salve, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si consideri su R^2 la topologia euclidea e sia X = {(x,y)| y>x}
si dica se
(1) X è omeomorfo a R^2
(2) La chiusura di X è omeomorfa a Y= {(x,y)| |y|>=|x|}
Per quanto riguarda il punto (2) ho osservato che la chiusura di X meno un punto è ancora connesso mentre Y privato del punto (0,0) è unione di due aperti non vuoti disgiunti quindi non è connesso. Dunque ragionando per assurdo si deduce che la chiusura di X non è omeomorfa a Y.
Ho dei dubbi nell' affrontare il punto (1). Le invarianti topologiche(connessione,compattezza) sono preservate perchè entrambi sono connessi e non compatti e intuitivamente sono convinto che X e R^2 siano omeomorfi. Quindi ho provato a costruire un omeomorfismo ma non riesco a trovare una funzione da R^2 a X per poi verificare che sia continua biiettiva e che abbia inversa continua. Qualcuno avrebbe dei suggerimenti su come procedere ?