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salve!

sia $g : R^3->R^3$ l'unico endomorfismo tale che:

$<(1,1,0),(0,1,1)>$e’ un autospazio per $g$.
$(1,0,1)$ e’ un autovettore per $g$.
$g(2,2,2) = (2,−4,2)$.

determinare g

qualche idea?
thanks

Una applicazione lineare è univocamente determinata da cosa fa a una base.

ma non capisco come determinare cosa fa alla base se non ho gli autovalori
grazie

Disponi di una marea di informazioni.
Sai che ci sono due autospazi....uno di dimensione 1 e uno di dimensione 2, ovvero ci sono due autovalori distinti, chiamiamoli h e k. Sai anche che la matrice G è diagonalizzabile, quindi: $G=SDS^-1$
Dove $ S=( ( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $ e $D=( ( h , 0 , 0 ),( 0 , h , 0 ),( 0 , 0 , k ) ) $
Sai anche che $G( ( 2) , (2) , (2) )=G[( ( 1) , (1) , (0) )+( ( 0) , (1) , (1) )+( ( 1) , (0) , (1) )]=h( ( 1) , (1) , (0) )+h( ( 0) , (1) , (1) )+k( ( 1) , (0) , (1) )=( ( 2) , (-4) , (2) )$

lollolollo ha scritto:ma non capisco come determinare cosa fa alla base se non ho gli autovalori

La cosa bella è che non ci interessa cosa fa alla base , l'importante è avere una base al dominio.

Ti vengono dati $4$: $((1),(1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(0),(1)),((2),(2),(2))$ vettori appartenenti al dominio ma, per Steinitz, si possono avere al più $3$ vettori l.i.; quindi devi scartare un vettore che è C.L. dei rimanenti per dimostrare che una siffatta $f$ esista.

grazie!