Determinante

[VALE0]

Salve a tutti, non capisco come si calcola il determinante. Ho capito cosa fare ma praticamente non riesco. $ ( ( 1 , k , - 2, 0),( 0, - k, - 1, - 1),( 1, - k, 0 , - 1),( 0, 1, k, k) ) $.
Conosco il risultato che é det(A) =3(1-k^2)=0 se e solo se k= 1 o k=-1.

Non capisco i passaggi, qualcuno me li può spiegare? Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

ciao vale

somma alla terza riga l'opposto della prima e otterrai la prima colonna con il primo elemento $1$ e tutti gli altri zeri, dunque sviluppi secondo quella colonna e ti verrà banalmente un determinante $3times3$ che puoi risolvere con sarrus.

[VALE0]

Ok quindi questi "trucchetti" li posso usare a che nel calcolare il determinante?

[Bokonon]

Ok quindi questi "trucchetti" li posso usare a che nel calcolare il determinante?

No.
Prendi una matrice A e applicale una trasformazione T (che è ciò che fai quando lavori per righe o per colonne), quindi $TA=B$, ergo $A=BT^-1$
Quindi $det(A)=det(BT^-1)=det(B)*det(T^-1)=det(B)/det(T)$
Quindi non è affatto detto che $det(A)=det(B)$ siano identici...a meno che $det(T)=1$

Anto che è furbo ma non dovrebbe confondere ancora di più chi è già confuso (cattivo Anto ) propone la trasformazione
$ T=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
perchè Anto sa che $det(T)=1$ e sa anche che il determinante si può calcolare indifferentemente per righe o per colonne (perchè $det(A)=det(A^T)$). Quindi ti ha detto sostanzialmente di applicare una trasformazione "sicura" e poi calcolare il determinante per colonne dato che diventa semplicissimo.

[anto_zoolander]

Sommare a una riga il multiplo di un’altra non altera nulla, non capisco cosa ci sia di male.
Ho supposto che conoscesse una proprietà così innocente

[axpgn]

Se non ricordo male, usando le tre mosse di Gauss al determinante succede questo:

1) Cambia di segno se si scambiano di posto due righe

2) Quando si moltiplica una riga per un numero (diverso da zero) anche il determinante viene moltiplicato per lo stesso numero

3) Il determinante non cambia se a una riga viene aggiunto il multiplo di un'altra

Giusto?

[anto_zoolander]

@alex
Viaru, con qualche aggiunzione:

1) vale anche per le colonne

3) vale anche quando si somma a una riga una combinazione lineare delle altre(uguale per le colonne)

[axpgn]

Va beh ma questi son corollari, la sostanza è quello che ho detto ...

Che vuol dire "viaru"?

[anto_zoolander]

Chi si pillicusu!

viaru=vero

[VALE0]

Ok grazie a tutti il mio prof usa il teorema dei minori orlati.
Quindi prendo una sotto matrice 2x2 e ne calcolo il determinante e successivamente la orla ottenendo una 3x3, anche qui calcolo il determinante e devo vedere se é uguale al primo?