calcolo degli autovettori

[cri98]

salve a tutti
ho bisogno di una dritta per completare il seguente esercizio:
mi viene assegnata una matrice:

$ A=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $

l'esercizio richiede di verificare se i vettori (6,11,8) , (0,0,0), (6,0,3) sono autovettori della matrice.

io ho calcolato prima di tutto gli autovalori:
ottengo $ -lambda^3+8lambda+3 $
scompongo il polinomio ed ottengo:
$ -lambda^2-3lambda-1 $

cambio di segno:
$ lambda^2+3lambda+1 $


a questo punto calcolando$ lambda$ ottengo:
$ lambda=(-3+-sqrt(5))/2$

ottengo:

$ lambda=(-3+sqrt(5))/2$

$ lambda=(-3-sqrt(5))/2$

a questo punto calcolo gli autovettori per $ lambda=(-3+sqrt(5))/2$
ottengo la seguente matrice:
$ ( ( -2-(-3+sqrt(5))/2 , 2 , 1 ),( 1 , 1-(-3+sqrt(5))/2 , 2 ),( -1 , 2 , 1-(-3+sqrt(5))/2 ) ) $

impongo il sistema:
$ { ( -2x+(-3+sqrt(5)/2 )y+z=0),(1+((-3+sqrt(5))/2 )+2z =0,( -x+2((-3+sqrt(5))/2 )+1=0 ):} $

il mio problema è che non so risolvere questo sistema, non so come muovermi con la presenza della radice.

grazie a tutti!

[Magma]

Per definizione, $vnebar0$ è autovettore per $f$ se

$f(v)=lambdav, qquad lambda in RR$

[cri98]

ciao, Magma
questa definizione devo applicarla al sistema che ho impostato?
come mi muovo operativamente?
Grazie!

[Magma]

La matrice $A$ è rappresentativa dell'applicazione lineare, per cui $f=L_A$:

$L_A: qquad RR^3->RR^3$

$L_A(v):=Av=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) ((x),(y),(z)), qquad AA v in RR^3$

Per verificare che determinati vettori siano autovettori, è sufficiente calcolarne l'immagine e verificare che essa sia un multiplo del medesimo vettore; ovviamente il vettore nullo non può essere definibile autovettore.

[cri98]

ciao, Magma
allora, per calcolare l'immagine vado a considerare la matrice; calcolo il rango ed ottengo che è uguale a 3, quindi concludo che la dimensione dell'immagine di f è 3.
poi se ho ben capito vado a considerare la matrice 3x4 (aggiungo all'interno della matrice l'autovettore (6,11,8)
$ ( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1, 2 , 1 ),( 6 , 11 , 8 ) ) $
calcolo il rango riducendo la matrice a scala ed ottengo che è uguale a 3, quindi posso concludere che l'autovettore (6,11,8) appartiene alla matrice.

va bene il procedimento?

Grazie?

[Magma]

Ti avevo suggerito di applicare banalmente la definizione di autovettore:

$L_A(((6),(11),(8)))=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) ((6),(11),(8))=((18),(33),(24))=3((6),(11),(8))$

Quindi $((6),(11),(8))$ è un autovettore.


Perché ti sei complicato la vita in quel modo?

[cri98]

ciao,Magma
tutto chiaro mi sono complicato la vita inutilmente.
GRAZIE!

[Magma]

$((0),(0),(0))$ è un autovettore?

[cri98]

No!

[Magma]