Teorema di diagonalizzibilita'

[ludovica_97]

Devo dimostrare il seguente teorema:
"Un endomorfismo f e' diagonalizzabile se e solo se molteplicita' algebrica e geometrica coincidono"
purtroppo non ho nulla su questa dimostrazione, ho provato a cercarla sul web ma con scarsi risultati, quindi chiedo aiuto qui.
Suppongo che le proposizioni che mi servono sono:
"Dati n autovalori distinti, gli autovettori corrispondenti sono linearmente indipendenti"
"La somma degli autospazi relativi ad autovalori diversi e' diretta"
(che poi sono due proposizioni equivalenti)
Il problema e' che mi trovo in difficolta' per tutte e due le implicazioni, qualcuno che puo' darmi qualche suggerimento?

[cooper]

ho provato a cercarla sul web ma con scarsi risultati,

ecco. ho risposto allo stesso dubbio proprio oggi

[ludovica_97]

Si, avevo gia' letto quella discussione ma avevo qualche dubbio
Nella prima implicazione si dice che $(dim(E_1) - a_1)+...+ (dim(E_h)-a_n)=0$ implica che queste, essendo quantita' positive non nulle siano uguali a coppie, quindi $dim(E_1)=a_1$ e cosi via...
Ma per quale motivo? Non e' possibile che ad esempio questo sia vero per h-2 coppie e due si invertano cioe' $dim(E_1)=a_3$ e $dim(E_3)=a_1$? Forse c'e' qualcosa con l'ipotesi che sia diagonalizzabile che mi sfugge

[cooper]

in effetti non saprei dare una risposta. provo con questa dimostrazione.
siano $V_(lambda_i)$ gli autospazi e $e_i$ con $i in [1,n]$ una base di V costituita da autovettori. li si raggruppino in modo che la matrice sia a blocchi quadrati di dimensione $gamma_i$ (una scacchiera con quadrati di quella dimensione) con sulla diagonale principale gli autovalori e zero altrove. noto che $1 <= gamma_i <= gamma_(lambda_i)$.
dunque $chi_T(x)=(-)^n (x-lambda_1)^(gamma_1) *** (x-lambda_k)^(gamma_k)$.
ma per il teorema di Ruffini e per la decomposizione in polinomi irriducibili vale:
$chi_T(x)=(-)^n (x-lambda_1)^(alpha_(lambda_1) *** (x-lambda_k)^(alpha_(lambda_k) Pi _(t=1)^(s) g_t(x)$
$g_t$ diversi da $x-lambda_i$. per l'unicità della decomposizione la produttoria non c'è (vale 1) e poichè $gamma_i <= gamma_(lambda_i)<= alpha_(lambda_i)$ se ne deduce, notando dal confronto tra le espressioni del polinomio caratteristico $alpha_(lambda_i)=gamma_i$, che le molteplicità coincidono $AA i$.

[ludovica_97]

Mmmm.... Non ho ben capito quando utilizzi $x_t(x)$.... Ma l'unica dimostrazione che esiste di questo teorema e' quella li su? Non sai dirmi dove posso trovarne altre?

[cooper]

non saprei magari su internet su qualche dispensa trovi qualcosa. io l'ho fatta a mio tempo come ti ho scritto ed ho trovato quella che invece ti ho linkato.
prova magari a cercare "dimostrazione teorema di diagonizzabilità", magari anche in inglese.