Esercizio endomorfismo

[giulio0]

- L'endomorfismo f : (x,y,z) appartenente a |R3 -> (x+z, -y, x) è iniettivo, suriettivo, diagonalizzabile? Perchè?

Ho risposto che è iniettiva perché associa tutti gli elementi distinti del dominio, inoltre è suriettiva perché ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Ma diagonalizzabile come faccio a capirlo?

Per sapere se è diagonalizzabile devo ricavarmi gli autovalori e vedere se sono distinti fra loro giusto? Ma come faccio la matrice associata?

[cooper]

Ho risposto che è iniettiva perché associa tutti gli elementi distinti del dominio, inoltre è suriettiva perché ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio

e come l'hai dimostrato? io avrei estratto una base dal ker ed avrei ragionato sulle dimensioni

Ma diagonalizzabile come faccio a capirlo?

Per sapere se è diagonalizzabile devo ricavarmi gli autovalori e vedere se sono distinti fra loro giusto? Ma come faccio la matrice associata?

devi verificare che le molteplicità degli autovalori coincidano tra loro
prova a dire tu come scrivere la matrice associata, rispetto alla canonica non è difficile qui.

[Magma]

L'endomorfismo

$f : RR^3->RR^3$

$(x,y,z)|-> ((x+z),( -y),( x))$

è iniettivo, suriettivo […]

È immediato osservando che

$r((1,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))=3$

il che implica possedere un minimo di conoscenza di teoria

io avrei estratto una base dal ker

In che modo?

[giulio0]

Allora posto i calcoli per il primo:
faccio la matrice associata

$ ( ( 1 , 0 , 1),( 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $

poi utilizzo l'eliminazione gaussiana, quindi scambio l'ultima colonna con la prima:

$ ( ( 1 , 0 , 1),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

e trovo 3 pivot, quindi l'immagine è uguale a 3 e quindi la dimensione del nucleo è uguale a zero, e con ciò che faccio?

[Magma]

Allora posto i calcoli per il primo:
[…] trovo 3 pivot, quindi $dim(Im(f))=3 hArr dim(ker(f))=0$, e con ciò che faccio?

Quand'è che un endomorfismo è iniettivo/surgettivo?

P.S. dire "l'immagine è uguale 3" non significa nulla.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per il caclolo del rango bastava fare $R_1->R_1-R_3R$

$((0,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))$

che chiaramente ha rango pari a tre!

[giulio0]

un endomorfismo è biettivo quando è un automorfismo??

[Magma]

Quindi? Ovvero che cos'è un automorfismo?

[giulio0]

"un automorfismo è un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. È, in un certo senso, una simmetria dell'oggetto" ho preso la definizione da wikipedia perché non ho capito dove vuoi andare a parare xD Non trovo il nesso della domanda con la definizione

[Magma]

Riprendiamo da qui, ieri ero un po' nel mondo degli unicorni

un endomorfismo è biettivo quando è un automorfismo??

Un endomorfismo $f: qquad V->V, qquad Vsube RR^n$ è

$\text{ iniettivo} hArr dim(ker(f))=0 hArr dim(Im(f))=n hArr \text{ è surgettivo}$

[giulio0]

grazie tantissime, questa definizione sai che non l'ho trovata...
Mentre non è diagonalizzabile perché la molteplicità degli autovalori è zero ovvero minore dell'ordine della matrice, corretto?