Equazioni parametriche di una base ortonormale

[CarfRip]

Salve ragazzi,
vi chiedo di seguirmi nello sviluppo di un esercizio, visto che è la prima volta che lo affronto e mi ha dato qualche grattacapo:
Dati $U={(x, y, z, w)inRR^4: x+z=y+w}$ e $V=Span[(1), (1), (0), (0)], [(0), (0), (1), (1)], [(1), (0), (1), (0)]$:
1) Specificare la dimensione e una base di $U$ e $V$
2) Specificare la dimensione e una base di $U+V$ e $UnnU$
3) Scrivere una base ortonormale di $U$
4) Scrivi equazioni cartesiane e parametriche di $U^\bot$

Dovrei aver svolto correttamente i primi 3 punti e parte del quarto...
1) Per quanto riguarda U, $z=-x+y+w$, quindi ho 3 variabili libere ${(x=a), (y=b), (w=c):}$ e una che vincolo come $z=-a+b+c$
$[(x), (y), (z), (w)]=a[(1), (0), (-1), (0)]+b[(0), (1), (1), (0)]+c[(0), (0), (1), (1)]$
Una base di U è formata da $B_U={(1, 0, -1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)}$, la dimensione è 3.

Per quanto riguarda $W=((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 0))=((1, 1, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, 1, 1))$
Una base di W è formata da $B_W={(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 0)}$, la dimensione è 3.

2) $U+W={(1, 0, -1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}$
$U+W=((1, 0, -1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0))=text{ [Riduzione di Gauss] }=((1, 0, -1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 0))$
$dim(U+W)=4$
Per Grassmann $dim(UnnW)=dim(U)+dim(U)-dim(U+W)=2$, verifico:
$UnnW=a(1, 0, -1, 0)+b(0, 1, 1, 0)+c(0, 0, 1, 1)-d(1, 1, 0, 0)-e(0, 0, 1, 1)-f(1, 0, 1, 0)=0$
${(a-d-f=0), (b-d=0), (-a+b+c-e-d=0), (c-e=0):}$ Ho 4 equazioni in 6 incognite, quindi ${(e=s), (f=t):}$
Una base di $UnnW$ è data da $s[(1), (0), (-1), (0)]+t[(0), (1), (1), (0)]$, la dimensione è 2.

3)
Base ortogonale di U = ${(1, 0, -1, 0), (1/2, 1, 1/2, 0), (1, 1, 1, 1)}$
Base ortonormale di U = ${(1/sqrt(2), 0, -1/sqrt(2), 0), (1/sqrt(6), 2/sqrt(6), 1/sqrt(6), 0), (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)}$

4) Qui sorgono dubbi...
Per l'equazione cartesiana dovrebbe essere
$((1/sqrt(2), 1/sqrt(6), 1/2, x), (0, 2/sqrt(6), 1/2, y), (-1/sqrt(2), 1/sqrt(6), 1/2, z), (0, 0, 1/2, w))=text{ [Riduzione di Gauss] }=((1/sqrt(2), 1/sqrt(6), 1/2, x), (0, 2/sqrt(6), 1/2, y), (0, 0, 1/2, w), (0, 0, 0, z+x-y-w))$
Dunque $U^\bot={(x, y, z, w)inRR^4: x+z=y+w}$ (Stessa equazione di U?)
L'equazione parametrica quindi dovrebbe essere una ripetizione di quella per U... (?)
Grazie per la pazienza

[johnhappy]

Quello che stai facendo al punto 4) ti serve solamente a calcolare l'equazione cartesiana dello spazio $U$, per questo ti esce fuori lo stesso risultato che avevi già nel testo! Se vuoi trovare l'equazione cartesiana di $U^{_|_}$ devi mettere come colonne della matrice i vettori che formano una base di $U^{_|_}$ e no di $U$. Rifletti sul fatto che se $U$ ha dimensione 3, $U^{_|_}$ avrà dimensione 1, e quindi le equazioni cartesiane che devi trovare sono 3. Un vettore appartenente a $U^{_|_}$, e che quindi faccia da base, si può trovare anche ad occhio...

[CarfRip]

Se vuoi trovare l'equazione cartesiana di $U^{_|_}$ devi mettere come colonne della matrice i vettori che formano una base di $U^{_|_}$ e no di $U$.

Ciao! Prima di tutto scusami se rispondo solo ora
A quanto mi risulta nel punto 4 io ho inserito i vettori della base ortonormale per calcolare le equazioni parametriche, sbaglio?

[johnhappy]

A quanto mi risulta nel punto 4 io ho inserito i vettori della base ortonormale per calcolare le equazioni parametriche, sbaglio?

Ciao CarfRip. In realtà no, perchè $U^{_|_}$ ha dimensione 1 (lo spazio totale ha dimensione 4, mentre $U$ ha dimensione 3. Un vettore di $U^{_|_}$, e quindi una sua possibile base, è dato da $(1,-1,1,-1)$ (baste prendere l'equazione che descrive $U$, riscriverla con tutti le variabili incognite nello stesso membro e prendere i coefficienti di queste variabili incognite seguendo l'ordine opportuno). Quindi in teoria devi fare lo stesso procedimento, ma inserendo come colonna solo questo vettore. In linea teorica le equazioni cartesiane di uno spazio di dimensione $1$, come sottospazio di uno spazio di dimensione $4$, sono $3$. Quindi aspettati che $U^{_|_}$ sia descritto dall'intersezione delle soluzioni di quelle 3 equazioni.

[CarfRip]

Tutto chiaro! Grazie mille