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Salve a tutti,
ho difficoltà ad interprerare questo esercizio di algebra:

Sia V lo spazio delle funzioni reali di variabile reale e definite a: x€R->x€R, b: x€R->ln(x)€R, c: x€R->x^2€R. Mostrare:
1) Il sistema S={a,b} è indipendente
2) Detto W=<a,b> trovare la sua dimensione
3) Detto Z=<c> stabilire se è un sottospazio di W

Ringrazio in anticipo chi mi saprà dare qualche riferimento per poter risolvere questi quesiti.

Grazie 1000
Saluti

Sia $V$ uno spazio vettoriale, $a,b,c$ 3 suoi vettori. Stessa consegna.

Ora che hai rimosso le informazioni superflue forse lo sai fare.

Sinceramente riguardo alla dipendenza/indipendenza del sistema e quindi delle due funzioni avevo pensato di determinare il wronskiano e verificare se si annulla o no (come si fa con le soluzioni di un'equazione differenziale).

Per il resto ho poche idee perchè non riesco a capire come posso fare a considerare quelle funzioni come dei vettori.

Se puoi essere più preciso te ne sarei grata.

Grazie 1000
Saluti

Un sottoinsieme $S={f_1,...,f_n}$ si dice linearmente indipendente se


Se le funzioni $f(x)=x$ e $g(x)=log(x)$ fossero linearmente dipendenti allora si avrebbe per qualche $lambda inRR, log(x)=lambdax,forallx inRR$. Ti sembra sia vero?

PS: vettore non vuol dire immaginarsi le freccette

anto_zoolander ha scritto:$∀λ1,...,λn∈R , ∑_(k=1)^n λ_k f_k=0⇒λ_1=0$

ti è sfuggito un 1 a $lambda$

È incredibile come riesca a dimenticare sempre qualcosa.

Grazie è chiaro.
Quindi a questo punto la dimensione dello spazio W=<a,b> è pari a 2 essendo linearmente indipendenti le due funzioni.
Riguado poi alle terza domanda come posso fare a dimostrare che Z=<c> è un sottospazio di W???

Secondo me non è un sottospazio, perché altrimenti dovrebbero esistere $h,k \in \RR$ tali che
$x^2=hx+klog(x)$
Che non mi pare non sia possibile

Cantor non è stato chiesto che generasse tutto $V$

Anto_zoolander che intendi?
Se $<<c>> <= <<a,b>>$, deve in particolare essere $c \in <<a,b>>$, o no?