Spazio le cui ccpa non sono né chiuse né aperte

[killing_buddha]

E' una cosa davvero semplice, credo, ma siccome solitamente snobbate le domande che pongo anche quando sono facili...

C'è uno spazio topologico $X$ le cui componenti connesse per archi non sono né tutte chiuse, né tutte aperte (come sottospazi di $X$)?

[otta96]

$ X={(x,sin(1/x)):x\in(0,1]}uu{(0,y):y\in[-1,1]} $Direi che il classico seno del topologo dovrebbe funzionare: $X={(x,sin(1/x)):x\in(0,1]}uu{(0,y):y\in[-1,1]}$, le ccpa sono i due insiemi che unisco per ottenere lo spazio, il primo è aperto ma non chiuso, il secondo (essendo il complementare) è chiuso ma non aperto.
Sarebbe interessante capire se esistono spazi in cui nessuna ccpa è aperta o chiusa, o persino non è boreliana, chissà...

ma siccome solitamente snobbate le domande che pongo anche quando sono facili...

Sono sicuro che per te siano veramente facili, però io quel post lo avevo visto ma non l'ho trovato per niente facile.

[killing_buddha]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Non c'è ragione di essere polemico, ma un punto è una definizione, il secondo ti imbocca a farti dimostrare che un oggetto molto esplicito soddisfa una proprietà, il terzo parte dall'ovvietà che la moltiplicazione per un elemento non nullo fissato è un automorfismo, e quindi definisce un anello di polinomi non commutativi...

Non è che sono difficili, è che avete visto matematica troppo semplice. Esattamente quello che questi miei post vogliono curare. Incidentalmente, il formalismo degli anelli sghembi è una pietra angolare di certe parti della teoria della rappresentazione.

[otta96]

Forse quando avrò tempo cercherò di risolverlo….
Comunque te sai mica per caso se le ccpa sono sempre dei boreliani?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Potresti gentilmente dare un'occhiata a questa domanda che avevo fatto tempo fa che ancora non ha avuto risposta?

[j18eos]

A me il seno del topologo convince.

[killing_buddha]

Sarebbe interessante capire se esistono spazi in cui nessuna ccpa è aperta o chiusa

Se \(\mathbb R^2 \to \mathbb{T}\) è la mappa che manda \((x,y)\in \mathbb R^2\) in \(x + \mathbb{Z}^2\) (sto confondendo il toro \(\mathbb T^2\) e \(\mathbb R^2/ \mathbb Z^2\) nel modo ovvio), allora l'immagine della retta \(t\mapsto (t, \pi t)\) ha immagine densa in \(\mathbb T^2\) e rompe il toro in infinite ccpa, nessuna delle quali è chiusa o aperta.

Comunque te sai mica per caso se le ccpa sono sempre dei boreliani?

No, non lo so; però mi viene naturale la domanda: quante componenti connesse per archi ha l'insieme di Vitali?

[otta96]

Se \(\mathbb R^2 \to \mathbb{T}\) è la mappa che manda \((x,y)\in \mathbb R^2\) in \(x + \mathbb{Z}^2\) (sto confondendo il toro \(\mathbb T^2\) e \(\mathbb R^2/ \mathbb Z^2\) nel modo ovvio), allora l'immagine della retta \(t\mapsto (t, \pi t)\) ha immagine densa in \(\mathbb T^2\) e rompe il toro in infinite ccpa, nessuna delle quali è chiusa o aperta.

Davvero?

No, non lo so; però mi viene naturale la domanda: quante componenti connesse per archi ha l'insieme di Vitali?

Non ho capito bene il senso di questa domanda ma non ha tanto senso parlare de "l'insieme di Vitali", perché dipende da come scegliamo i rappresentanti, penso ci sia modo di prenderlo avente misura interna nulla, in tal caso avrebbe le componenti ridotte ai punti.
Ora che ci penso un controesempio non può essere un sottospazio di $RR$ perché vale che $AAI\subeRR, I$ è connesso se e solo se è connesso per archi, e le componenti connesse sono chiuse.

[otta96]

Sarebbe interessante capire se esistono spazi in cui nessuna ccpa è aperta o chiusa, o persino non è boreliana, chissà..

Alla fine ho chiesto questa cosa su MSE e ne è saltato fuori che tali spazi esistono.