Teorema vettori L.I. e dimensione generatori

[diedro]

Ciao a tutti,

sto studiando Geometria I e mi sono imbattuto nel seguente Teorema:

Sia \(\displaystyle \{v_1,....,v_n\} \) un sistema di generatori di \(\displaystyle V \) e siano \(\displaystyle \{w_1,....,w_m\} \) elementi di \(\displaystyle V \). Se \(\displaystyle m>n \) allora \(\displaystyle \{w_1,....,w_m\} \) sono linearmente indipendenti.

Purtroppo non mi sono chiare alcune cose nella dimostrazione. Infatti la dimostrazione inizia affermando che se \(\displaystyle \{w_1,....,w_n\} \) sono linearmente dipendenti, lo sono anche \(\displaystyle \{w_1,....,w_m\} \). Questo mi è chiaro da teoremi precedenti.

Quindi parte con l'ipotesi che {w_1,....,w_n\} \) siano linearmente indipendenti, affermando che l'obiettivo è dimostrare che generano \(\displaystyle V \).

A questo punto affermano che:

\(\displaystyle w_1 = a_1v_1 + .... + a_nv_n \) con \(\displaystyle a_1,...,a_n \) scalari e e che quindi
\(\displaystyle v_1 = a_1^{-1}w_1 + a_1^{-1}a_2v_2 +.... + a_1^{-1}a_nv_n\)

quindi che \(\displaystyle \langle w_1,v_2,.....,v_n\rangle \subset \langle v_1,.....,v_n\rangle =V \)

questa ultima affermazione non mi è chiara. E' semplicemente dovuta al fatto che \(\displaystyle \langle w_1,v_2,.....,v_n \rangle \) possono generare \(\displaystyle \{v_1,....,v_n\} \)? Perché si usa il simbolo sottoinsieme?

Una volta capito questo posso procedere con il resto del teorema e se posso farvi un'altra domanda.

Vi ringrazio fin da ora,

Diego

[marco2132k]

Ciao! Una curiosità: da dove hai preso il teorema e la sua dimostrazione?

[diedro]

ciao,
da Geometria I di Edoardo Sernesi. Spero non ci siano troppi errori di stampa.

[marco2132k]

Sia ${v_1,\cdots, v_n}$ un sistema di generatori di $V$ e siano ${w_1,\cdots, w_m}$ elementi di $V$. Se $m\gt n$ allora ${w_1,\cdots, w_m}$ sono linearmente indipendenti.

Di fatto Sernesi mostra come i vettori ${w_i}_{i\leq n}$ formino una base di $V$, arrivando a dire che, appunto, ogni $w_i$, $i \gt n$ può essere scritto come combinazione lineare degli stessi.

[...] quindi che $\langle w_1, v_2\cdots, v_n\rangle \subset \langle v_1, \cdots, v_n \rangle = V$

Che questo sia vero, lo puoi verificare tu stesso: prendi un vettore di $\langle w_1, v_2\cdots, v_n\rangle$, diciamo $v$; allora $v = y_{1}w_{1} + \sum_{i=2}^{n}x_{i} v_{i}$, ma $w_1 = \cdots$

Però il testo afferma che¹: $$\langle w_1, v_2\cdots, v_n\rangle \supset \langle v_1, \cdots, v_n \rangle = V$$
Perché $V$ debba essere contenuto in ${w_1,v_2,\cdots, v_n}$ lo dice chiaramente: un qualsiasi $v_i \in {v_i}_{i\leq n}$ può essere espresso come $v_i + 0w_i + \cdots$, no?

E' semplicemente dovuta al fatto che $\langle w_1, v_2,\cdots, v_n \rangle$ possono generare ${v_1,\cdots,v_n}$?

Cosa intendi per generare ${v_i}_{i \leq n}$?

Dove Sernesi vuole andare a parare è appunto alla "costruzione" dell'insieme $\langle w_i \rangle_{i \leq n}$, che fa per induzione; risulterà $\langle w_i \rangle_{i \leq n} = V$.

p.s. Spero di aver risposto alla tua domanda.

---

Note

1. E non quello che hai scritto tu. ↑

[diedro]

Ciao,

per quello che ti avevo chiesto si. Ho capito di aver invertito il simbolo di sottoinsieme.

Quindi nella prima parte, con \(\displaystyle w_i \) si dimostra che \(\displaystyle w_i,v_2,....,v_n \) generano \(\displaystyle V \).

osa intendi per generare \(\displaystyle {v_i}i≤n? \)

Proprio quello che hai spiegato tu:

\(\displaystyle v_i∈{v_i}i≤n \) può essere espresso come \(\displaystyle v_i+0w_i+⋯ \), no?

Quindi grazie.

Quello che non capisco ora è la parte successiva del teorema.

Sernesi suppone che per qualche \(\displaystyle 1 \leq s \leq n-1\) si abbia

\(\displaystyle \langle w_1, ...., w_s, v_{s+1},....,v_n \rangle =V \). Quindi questa è un ipotesi che deve essere verificata, almeno da quello che capisco io.

Poi fa tutto un ragionamento partendo da questa ipotesi per ritornare alla ipotesi stessa. In particolare usa di nuovo il concetto di sottoinsieme. Dove è che mi perdo? Vuoi che scenda più in dettaglio nei miei ragionamenti?

Grazie infinite,
Diego

[marco2132k]

Prova ad andare avanti un po' con il procedimento, aggiungendo "manualmente" anche $w_2$ all'insieme di generatori che stai pian piano costruendo (don't look below!).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Abbiamo detto che è effettivamente $\langle w_1, v_2,\cdots, v_n\rangle \subset \langle v_i\rangle_{i\leq n}$. Qual è il nostro scopo? Far vedere che $\langle w_i\rangle_{i\leq n} = V$. Ora consideriamo $w_2$: esso sarà $\ne 0$ e: $$w_2 = \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{'}v_{i} = b_{1}w_1 + \sum_{i=2}^{n}b_{i}v_{i}$$
A meno di riordinare i termini, posso, come prima, supporre $b_{2}\ne 0$: perché non può presentarsi il caso $b_1 \ne 0 \wedge b_2=\cdots=b_n=0$?
Allora:
$$v_2 = b_{2}^{-1}(-b_{1}w_{1} + b_{3}v_{3} +\cdots + b_{n}v_{n})$$
Quindi, $v_2 \in \langle w_1, w_2, v_3,\cdots, v_n \rangle$ ed è $\langle w_1, w_2, v_3,\cdots, v_n \rangle \subset V$ (verificalo!)

Bene, ora dovremmo essere arrivati al punto in cui $w_1, w_2, v_3,\cdots, v_n$ generano $V$.

Sernesi suppone che per qualche $1\leq s\leq n−1$ si abbia $\langle w_1,\cdots, w_s,v_{s+1},\cdots, v_n \rangle=V$. Quindi questa è un ipotesi che deve essere verificata, almeno da quello che capisco io.

Nota che questa è l'ipotesi induttiva: abbiamo verificato che $\mathcal{P}(1) \hArr_{\mbox{def}} \langle w_1, v_2,\cdots, v_n \rangle \mbox{ genera } V$ regge; ora supponiamo: $$\mathcal{P}(s) \Leftrightarrow_{\mbox{def}} \langle w_1,\cdots, w_s,v_{s+1},\cdots, v_n \rangle \mbox{ genera } V$$
sperando di ricavarne la validità di $\mathcal{P}(s^{+})$.¹

In particolare usa di nuovo il concetto di sottoinsieme. Dove è che mi perdo?

$\mathcal{P}(s+1)$ è vera sse?

---

Note

1. Le due $\mathcal{P}$ appaiono scritte in carattere diverso; io sto intendendo la stessa proposizione, ma forse al forum non piace. ↑

[anto_zoolander]

Secondo me con tutte 'ste notazioni lo stai solo facendo confondere.
Intanto il teorema è sbagliato e mi stupisce che non se ne sia accorto nessuno, in quanto sul libro il teorema non è scritto così, ma così:

sia $V$ un $K-$spazio vettoriale finitamente generato e siano:
$ S={v_1,...,v_n}$ un sistema di generatori di $V$
$ T={w_1,...,w_m}$ un sistema di vettori di $V$

se $m>n$ allora $T$ è un sistema linearmente DIPENDENTE

NB: dalla verità di questo fatto, per contronominale, si deduce che se $T$ è linearmente indipendente allora $mleqn$

Perchè l'affermazione precedente non può esser vera? Per convincersene basta fare la seguente considerazione:
Supponiamo che $<v_1,...,v_n> =V$ e sia $v=sum_(k=1)^(n)lambda_kv_k$
allora sarebbe vero che ${v_1,...,v_n,v}$ è linearmente indipendente, cosa palesemente falsa

notiamo che le ipotesi della tua precedente affermazione sono tutte rispettate in quanto ${v_1,...,v_n}$ è un sistema di generatori e ${v_1,...,v_n,v}$ un sistema di vettori di $V$ che contiene 'più vettori'.
Pertanto dovrebbe scattare la tesi, ma come ti ho mostrato, non è vero.

Questo teorema è di fondamentale importanza per l'algebra lineare in quanto permette di dire che ogni spazio finitamente generato ha un invariante importantissimo: il numero di vettori della sua base.

per dimostrare questo teorema è importante aver chiaro un altro concetto: quello di lineare dipendenza, la quale aiuta ad affermare un'altra proprietà importante:

sia $V$ un $K-$spazio vettoriale e $S={v_1,...,v_n}$ un sistema di vettori.

$forallv in V( v in <v_1,...,v_n> => <v_1,...,v_n> = <v_1,...,v_n,v>)$

questo si dimostra facilmente e se ti va fallo come esercizio.
E' un altro invariante che permette di affermare che aggiungere vettori dipendenti dai vettori di un sistema non altera lo spazio generato.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

benedico ogni giorno la mia professoressa di algebra lineare

un ultimo lemma molto utile è il seguente

sia $V$ un $K-$spazio vettoriale e $S={v_1,...,v_n}$ un sistema di vettori.

se esiste $1<m<n$ tale che $v_1,...,v_m$ è linearmente dipendente allora $S$ è linearmente dipendente

basta notare che se $sum_(k=1)^(m)a_kv_k=0$ con gli $a_j$ non tutti nulli allora

$0=sum_(k=1)^(m)a_kv_k=sum_(k=1)^(m)a_kv_k+sum_(k=m+1)^(n)0v_k$

ora procediamo con la dimostrazione di quel teorema.

dimostrazione
Un buon modo di procedere è quello di considerare, per assurdo, che $w_1,...,w_m$ siano linearmente indipendenti e per il lemma precedente sarà sufficiente mostrare che $w_1,...,w_n$ siano linearmente dipendenti in quanto seguirebbe che anche $w_1,...,w_m$ lo sarebbero ottenendo una contraddizione.
Il seguente asserto può essere dimostrato per induzione(o qualcosa di simile) e di fatto quando qualcosa dipende dai naturali, molte volte, la soluzione migliore è proprio quella di utilizzarlo.
L'unico problema che dobbiamo farlo con qualche modifica

Utilizziamolo in questo modo:
Consideriamo l'insieme $A={s in NN: <w_1,...,w_s,v_(s+1),...,v_n> = V }$
Tale insieme chiaramente ha un problema ovvero gli $s in NN$ disponibili vanno da $1$ a $n-1$. Se riusciamo a mostrare che per ogni $1leqsleqn-1$ si ha che $s in A$ allora significherebbe che sia vero anche per $s=n-1$ e l'ultimo si potrebbe tranquillamente scambiare 'a mano'

mostriamo che $1 in A$
poichè $S$ è un sistema di generatori di $V$ allora essendo $w_1 in V$ esistono $a_1,...,a_n in K$ non tutti nulli tale che $w_1 in <v_1,...,v_n>$ ma allora $<v_1,...,v_n> = <w_1,v_2,...,v_n>$

nota che non è detto che tu possa sostituire $v_1$ in quanto il suo scalare potrebbe essere nullo, ma sicuramente sai che uno scalare non nullo esiste in quanto $w_1$ non è il vettore nullo e a meno di una permutazione di indici puoi supporre che lo scalare non nullo sia proprio quello di $v_1$.

quella uguaglianza è data dal fatto che se $w_1=sum_(k=1)^(n)a_kv_k$ e $lambda_1 ne0$ allora

$v_1=1/a_kw_1+sum_(k=2)^(n)(-(a_k)/(a_1))v_k$

quindi $v_1 in <w_1,v_1,...v_n> => V= <w_1,v_1,...,v_n> = <w_1,v_2,...,v_n>$

abbiamo mostrato che $1 in A$.
Supponiamo che quanto affermato sia vero per un certo $1leqsleqn-2$ mostriamo che sarà vero anche per $1leqs+1leqn-1$ e la dimostrazione è praticamente la stessa, in quanto:

supponendo che sia vera per $s$ allora $<w_1,...,w_s,v_(s+1),...,v_n> =V$
con lo stesso ragionamento di prima mostri che $<w_1,...,w_(s+1),v_(s+2),...,v_n> =V$

questo ti porta a concludere che essendo vero per tutti gli $1leqsleqn-2$ sarà vero anche per $s+1$ pertanto essendo vero per $s=n-1$ avrai che $<w_1,...,w_(n-1),v_n> =V$ e con lo stesso procedimento trito e ritrito sostituisci anche $v_n$ con $w_n$ concludendo che $<w_1,...,w_n>$ è un sistema di generatori per $V$ e che quindi tutti i $w_j$ con $j>n$ dipendono da quelli precedenti, dando vita ad un sistema linearmente dipendente.

Questo, come ti dicevo, è di fondamentale importanza in quanto se consideri due basi $B={v_1,...,v_n}$ e $B'={w_1,...,w_m}$ di uno spazio $V$ avrai che:

una volta $B$ è linearmente indipendente e $B'$ un sistema di generatori dunque $mgeqn$
una volta $B'$ è linearmente indipendente e $B$ un sistema di generatori dunque $ngeqm$

pertanto si ottiene subito subito che $n=m$ e quindi hanno lo stesso numero di vettori.

NB1: l'ipotesi di assurdo L'ipotesi di assurdo è molto utile per giungere ad una contraddizione e si usa quando mostri che se $1leqsleqn-2 in A$ allora $2leqsleqn-1 in A$ infatti:

supponiamo che $1leqsleqn-2 in A$ allora $<w_1,...,w_s,v_(s+1),...,v_n> = V$
ancora, poichè quello è un sistema di generatori, possiamo dedurre che

$exists a_1,...,a_n in K: w_(s+1)=sum_(k=1)^(s)a_kw_k+sum_(k=s+1)^(n)a_kv_k$ con $a_jne0$ per qualche $j$

ora se per ogni $ngeqj>s$ fosse $a_j=0$ otterresti una relazione di dipendenza lineare tra i vettori $w_1,...,w_s,w_(s+1)$ cosa che non potendo esser vera per ipotesi di assurdo, almeno un $a_j$ deve essere non nullo e possiamo assumere che sia $a_(s+1)$ ottenendo che

$v_(s+1)=sum_(k=1)^(s)(-(a_k)/(a_(s+1)))w_k+1/(a_(s+1))w_(s+1)+sum_(k=s+2)^(n)a_kv_k$

ciò porta al fatto che $<w_1,...,w_(s+1),v_(s+1),...,v_n> =V$ e quindi che $s+1 in A$

NB2: l'induzione nella dimostrazione del teorema usare l'induzione sarebbe equivalso a dire che $A=NN_(geq1)$ cosa che non ci serviva in quanto dovevamo scambiare solo $n-1$ vettori e non so fino a che punto sarebbe stato corretto utilizzarla. Pertanto abbiamo mostrato che la proprietà che definisce l'insieme $A$, dipendente dai naturali, fosse vera per tutti gli $s$ compresi tra $1,n-1$ e che ci ha portato alla conclusione sostituendo l'ultimo.

[marco2132k]

il teorema è sbagliato e mi stupisce che non se ne sia accorto nessuno, in quanto sul libro il teorema non è scritto così, ma così:[...]

Sì, il teorema è sbagliato! Ho messo in grassetto la "in" di indipendenti nel primo post, ma se non è chiaro mi scuso: allora sì che si sta confondendo!

Sia $ {v_1,\cdots, v_n} $ un sistema di generatori di $ V $ e siano $ {w_1,\cdots, w_m} $ elementi di $ V $. Se $ m\gt n $ allora $ {w_1,\cdots, w_m} $ sono linearmente indipendenti.

Di fatto Sernesi mostra come i vettori $ {w_i}_{i\leq n} $ formino una base di $ V $, arrivando a dire che, appunto, ogni $ w_i $, $ i \gt n $ può essere scritto come combinazione lineare degli stessi.

Forse avrei dovuto dirlo esplicitamente, in ogni caso "[Sernesi mostra che...] ogni $w_{n+1},\cdots, w_{m}$ può essere scritto come combinazione lineare dei $w_1,\cdots,w_n$" rende chiaro l'errore nell'enunciato.

NB: nella dimostrazione del teorema usare l'induzione sarebbe equivalso a dire che $A=\mathbb{N}_{\leq 1}$ cosa che non ci serviva in quanto dovevamo scambiare solo $n−1$ vettori e non so fino a che punto sarebbe stato corretto utilizzarla.

Una dimostrazione identica a questa (che ogni spazio vettoriale -finito- ha un invariante che è la cardinalità della base) è presente anche nel Lang, e mi pare intendesse per "induzione" l'esatto procedimento che hai indicato tu, prendendosi un po' di libertà nell'usare la parola "induzione".

[diedro]

ciao
ma siete fantastici.....
dei miti.

Oggi non avuto il tempo di guardare il dettaglio le vostre risposte. Domani le guardo con calma e vi rispondo.

Intanto vi ringrazio di nuovo

[diedro]

ciao a tutti, ciao marco2132k, ciao anto_zoolander,

ora mi è tutto chiaro.
Se posso vi chiedo altre due cose. Dalla dimostrazione finale ho notato che è scomparso l'uso del concetto si sottoinsieme. Mi sembra però che i ragionamenti fatti siano logici.

avrei inoltre un altra manda su un concetto trovato un paio di pagina avanti. Apro un altro argomento?

Grazie ancora